Шредингерова једначина

Честица је описана у простору као талас. Стање такве честице описује се таласном функцијом која се добија решавањем Шредингерове једначине. Ову једначину је формулисао 1925. године, и објавио 1926, аустријски физичар Ервин Шредингер. Решавање Шредингерове једначине врши се преко укупне енергије која се изражава преко кинетичке која је изражена преко импулса и потенцијалне енергије. Описана је квантномеханицким Хамилтонијановим оператором енергије. Шредингерова јна описује кретање цестица у потенцијалу V(x,y,з) кроз време.

У класичној механици, једначина кретања је Њутнов други закон, а еквивалентне формулације су Ојлер–Лагранжове једначине и Хамилтонове једначине. Све ове формулације се користе за решавање кретања механичког система и математичко предвиђање стања система у датом времену након иницијалног стања и конфигурације система.

У квантној механици, по аналогији са Њутновим законима је Шредингерова једначина за квантни систем (обично атоме, молекуле, и субатомске честице било слободне, везане, или локализоване). Она није једноставна алгебарска једначина, него (општа) линеарна парцијална диференцијална једначина. Диференцијална једначина описује таласну функцију система, која се такође назива квантно стање или вектор стања.

У стандардној интерпретацији квантне механике, таласна функција је најкомплетнији опис физичког система. Решења Шродингерове једначине описују не само молекулске, атомске, и субатомске системе, него и макроскопске системе, можда чак и цео свемир.

Попут Њутновог другог закона, Шредигерова једначина се може математички трансформисати у друге формулације попут Вернер Хајзенбергове матричне механике, и Фејнманове интегралне формулације путања. Исто тако попут Њутновог другог закона, Шредингерова једначина описује време на начин који је неподесан за релативистичке теорије, мада је тај проблем мање изражен у матричној механици и потпуно одсутан у интегралној формулацији путања. Једначина је изведена путем парцијалног диференцирања стандардне таласне једначине и супституисања релације између момента честице и таласне дужине таласа асоцираног са честицом у Де Бројевој хипотези.

Једначина

Временски зависна једначина

Форма Шредингерове једначине зависи од физичке ситуације. Најопштија форма је временски зависна Шредингерова једначина, која описује промене система у функцији времена:

Времински зависна Шредингерова једначина (општа) $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

где је и имагинарна јединица, ħ је редукована Планкова константа, Ψ је таласна функција квантног система, и ${\hat {H}}$ је Хамилтонов оператор (који карактерише тоталну енергију сваке дате таласне функције и поприма различите форме у зависности од ситуације).

Таласна функција која задовољава нерелативистичку Шредингерову једначину са V=0. Другим речима, она одговара честици која се слободно креће кроз празан простор. Реални део таласне функције је приказан.

Најпознатији пример је нерелативистичка Шредингерова једначина за једну честицу, која се креће у електричном пољу (али не у магнетном пољу; ц.ф. Паулијева једначина):

Временски зависна Шредингерова једначина (једна нерелативистичка честица) $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$

где је м маса честице, V је њена потенцијална енергија, ∇² је Лапласијан, и Ψ је таласна функција (прецизније, у овом контексту, она се назива "позиционо просторна таласна функција"). Тотална енергија једнака збиру кинетичке и потенцијалне енергије", мада сабирци попримају неуобичајене форме.

Пошто су специфични диференцијални оператори заступљени, ово је линеарна парцијална диференцијална једначина. Она је такође дифузиона једначина.

Термин "Шредингерова једначина" се може односити на општу једначину (прва кутија горе), или на специфичну нерелативистичку верзију (други кутија горе и њене варијанте). Општа једначина је веома уопштена. Она налази примену шириом квантне механике, за све од Диракове јендачине до квантне теорије поља, путем употребе разних комплексних израза за Хамилтонијан. Специфична нерелативистичка верзија је поједностављена апроксимација релативистичке. Она је сасвим прецизна у многим ситуацијама, мада постоје случајеви где је веома непрецизна.

При примени Шредингерове једначине, Хамилтонијански оператор се дефинише за дати систем, тако да обухвата кинетичку и потенцијалну енергију честица садржаних системом, и затим се уноси у Шредингерову једначину. Резултујућа парцијална диференцијална једначина се решава за таласну функцију, која садржи информације о систему.

Литература

• Сханкар, Р. (1994). Принциплес оф Qуантум Мецханицс (2нд изд.). Клуwер Ацадемиц/Пленум Публисхерс. стр. 143–. ИСБН 978-0-306-44790-7. 
• П. А. M. Дирац (1958). Принциплес оф Qуантум Мецханицс (4тх изд.). Оxфорд Университy Пресс. 
• Мüллер-Кирстен, Х. Ј. W. (2012). Интродуцтион то Qуантум Мецханицс: Сцхрöдингер Еqуатион анд Патх Интеграл (2нд изд.). Wорлд Сциентифиц. ИСБН 978-981-4397-74-2. 
• Гриффитхс, Давид Ј. (2004). Интродуцтион то Qуантум Мецханицс (2нд изд.). Бењамин Цуммингс. ИСБН 978-0-13-124405-4. 
• Либофф, Рицхард (2002). Интродуцторy Qуантум Мецханицс (4тх изд.). Аддисон Wеслеy. ИСБН 978-0-8053-8714-8. 
• Халлидаy, Давид (2007). Фундаменталс оф Пхyсицс (8тх изд.). Wилеy. ИСБН 978-0-471-15950-6. 
• Серwаy, Мосес, анд Моyер (2004). Модерн Пхyсицс (3рд изд.). Броокс Цоле. ИСБН 978-0-534-49340-0. ЦС1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза)
• Мооре, Wалтер Јохн (1992). Сцхрöдингер: Лифе анд Тхоугхт. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-43767-7. 
• Сцхрöдингер, Ерwин (1926). „Ан Ундулаторy Тхеорy оф тхе Мецханицс оф Атомс анд Молецулес”. Пхyс. Рев. 28 (6). 28 (6): 1049—1070. Бибцоде:1926ПхРв...28.1049С. дои:10.1103/ПхyсРев.28.1049. 
• Тесцхл, Гералд (2009). Матхематицал Метходс ин Qуантум Мецханицс; Wитх Апплицатионс то Сцхрöдингер Операторс. Провиденце: Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-4660-5. 
• Цхестер, Марвин (1987). Пример оф Qуантум Мецханицс. Јохн Wилеy. ISBN 0-486-42878-8
• Цоx, Бриан; Форсхаw, Јефф (2011). Тхе Qуантум Универсе: Еверyтхинг Тхат Цан Хаппен Доес Хаппен. Аллен Лане. ИСБН 978-1-84614-432-5. 
• Рицхард Феyнман, 1985. QЕД: Тхе Странге Тхеорy оф Лигхт анд Маттер, Принцетон Университy Пресс. ISBN 0-691-08388-6. Фоур елементарy лецтурес он qуантум елецтродyнамицс анд qуантум фиелд тхеорy, yет цонтаининг манy инсигхтс фор тхе еxперт.
• Гхирарди, ГианЦарло, 2004. Снеакинг а Лоок ат Год'с Цардс, Гералд Малсбарy, транс. Принцетон Унив. Пресс. Тхе мост тецхницал оф тхе wоркс цитед хере. Пассагес усинг алгебра, тригонометрy, анд бра–кет нотатион цан бе пассед овер он а фирст реадинг.
• Н. Давид Мермин, 1990, "Споокy ацтионс ат а дистанце: мyстериес оф тхе QТ" ин хис Боојумс Алл тхе Wаy Тхроугх. Цамбридге Университy Пресс: 110–76.
• Вицтор Стенгер, 2000. Тимелесс Реалитy: Сyмметрy, Симплицитy, анд Мултипле Универсес. Буффало, НY: Прометхеус Боокс. Цхптс. 5–8. Инцлудес цосмологицал анд пхилосопхицал цонсидератионс.

Море тецхницал:

• Бернстеин, Јеремy (2009). Qуантум Леапс. Цамбридге, Массацхусеттс: Белкнап Пресс оф Харвард Университy Пресс. ИСБН 978-0-674-03541-6. 
• Бохм, Давид (1989). Qуантум Тхеорy. Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-65969-5. 
• Биннеy, Јамес; Скиннер, Давид (2008). Тхе Пхyсицс оф Qуантум Мецханицс. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-968857-9. 
• Еисберг, Роберт; Ресницк, Роберт (1985). Qуантум Пхyсицс оф Атомс, Молецулес, Солидс, Нуцлеи, анд Партицлес (2нд изд.). Wилеy. ИСБН 978-0-471-87373-0. 
• Брyце ДеWитт, Р. Неилл Грахам, едс., 1973. Тхе Манy-Wорлдс Интерпретатион оф Qуантум Мецханицс, Принцетон Сериес ин Пхyсицс, Принцетон Университy Пресс. ISBN 0-691-08131-X
• Еверетт, Хугх (1957). „Релативе Стате Формулатион оф Qуантум Мецханицс”. Ревиеwс оф Модерн Пхyсицс. 29 (3): 454—462. Бибцоде:1957РвМП...29..454Е. С2ЦИД 17178479. дои:10.1103/РевМодПхyс.29.454. 
• Феyнман, Рицхард П.; Леигхтон, Роберт Б.; Сандс, Маттхеw (1965). Тхе Феyнман Лецтурес он Пхyсицс. 1—3. Аддисон-Wеслеy. ИСБН 978-0-7382-0008-8. 
• D. Греенбергер, К. Хентсцхел, Ф. Wеинерт, едс., 2009. Цомпендиум оф qуантум пхyсицс, Цонцептс, еxпериментс, хисторy анд пхилосопхy, Спрингер-Верлаг, Берлин, Хеиделберг.
• Маx Јаммер, 1966. Тхе Цонцептуал Девелопмент оф Qуантум Мецханицс. МцГраw Хилл.
• Хаген Клеинерт, 2004. Патх Интегралс ин Qуантум Мецханицс, Статистицс, Полyмер Пхyсицс, анд Финанциал Маркетс, 3рд ед. Сингапоре: Wорлд Сциентифиц. Драфт оф 4тх едитион.
• L.D. Ландау, Е.M. Лифсхитз (1977). Qуантум Мецханицс: Нон-Релативистиц Тхеорy. 3 (3рд изд.). Пергамон Пресс. ИСБН 978-0-08-020940-1.  Онлине цопy
• Гунтхер Лудwиг, 1968. Wаве Мецханицс. Лондон: Пергамон Пресс. ISBN 0-08-203204-1
• Георге Мацкеy (2004). Тхе матхематицал фоундатионс оф qуантум мецханицс. Довер Публицатионс. ISBN 0-486-43517-2.
• Мерзбацхер, Еуген (1998). Qуантум Мецханицс. Wилеy, Јохн & Сонс, Инц. ИСБН 978-0-471-88702-7. 
• Алберт Мессиах, 1966. Qуантум Мецханицс (Вол. I), Енглисх транслатион фром Френцх бy Г.M. Теммер. Нортх Холланд, Јохн Wилеy & Сонс. Цф. цхпт. IV, сецтион III. онлине
• Омнèс, Роланд (1999). Ундерстандинг Qуантум Мецханицс. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-00435-8. ОЦЛЦ 39849482. 
• Сцерри, Ериц Р., 2006. Тхе Периодиц Табле: Итс Сторy анд Итс Сигнифицанце. Оxфорд Университy Пресс. Цонсидерс тхе еxтент то wхицх цхемистрy анд тхе периодиц сyстем хаве беен редуцед то qуантум мецханицс. ISBN 0-19-530573-6
• Сханкар, Р. (1994). Принциплес оф Qуантум Мецханицс. Спрингер. ИСБН 978-0-306-44790-7. 
• Стоне, А. Доуглас (2013). Еинстеин анд тхе Qуантум. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-13968-5. 
• Транснатионал Цоллеге оф Леx (1996). Wхат ис Qуантум Мецханицс? А Пхyсицс Адвентуре. Лангуаге Ресеарцх Фоундатион, Бостон. ИСБН 978-0-9643504-1-0. ОЦЛЦ 34661512. 
• Велтман, Мартинус Ј.Г. (2003), Фацтс анд Мyстериес ин Елементарy Партицле Пхyсицс.

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Сцхрöдингер еqуатион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Quantum Physics Архивирано на сајту Wayback Machine (7. март 2012) – textbook with a treatment of the time-independent Schrödinger equation
• Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• The Schrödinger Equation in One Dimension
• J. O'Connor and E. F. Robertson: A history of quantum mechanics.
• Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
• Quantum Physics Made Relatively Simple: three video lectures by Hans Bethe