Вигнерова D матрица представља матрицу иредуцибилних репрезентација група SU(2) и SO(3). Вигнерова D матрица је квадратна матрица оператора ротација димензија
са општим елементима:
![{\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f113f60a20f756c2b123abd84bfd560cd94c58a)
Матрица је добила име по Еугену Вигнеру, који ју је први увео 1927. године.
Генератори Лијевих алгебри SU(2) и SO(3) означимо са
,
,
. За њих вреде следеће комутационе релације:
![{\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174ba69063f90a76d451af6dea3b8e8519411e7c)
Оператор
![{\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1335a7eaecf80587621548a6d7f8fe69593acc)
представља Казимиров оператор од SU(2) (или SO(3) ).
Оператор ротација може да се прикаже као:
![{\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\gamma J_{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde179cd39ef848a6a7c7c3e02c4c91c5697fd17)
где су
и
Ојлерови углови.
Вигнерова D матрица је квадратна матрица димензија
са општим елементима:
![{\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f113f60a20f756c2b123abd84bfd560cd94c58a)
При томе мала Вигнерова d- матрица означена је са:
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta j_{y}}|jm\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f95f882b40b40870713cf3aba746d34f0e89a6e)
Мала Вигнерова d- матрица може да се представи као:
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}d_{m'm}^{j}(\beta )&=&[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{1/2}\sum \limits _{s}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}\right.\\&&\left.\cdot \left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8ba08176519ca889915a21d33df4ba9bae9b59)
Матрични елементи мале d- матрице повезани су са Јакобијевим полиномима
са ненегативним
и
.
Нека је
![{\displaystyle k=\min(j+m,\,j-m,\,j+m',\,j-m').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da553c7e9153d866994470d4aad0a4ca5e9cf660)
Онда је:
![{\displaystyle {\hbox{Ako je}}\quad k={\begin{cases}j+m:&\quad a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\j-m:&\quad a=m-m';\quad \lambda =0\\j+m':&\quad a=m-m';\quad \lambda =0\\j-m':&\quad a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075cbce354dbafd98373e9d5ac7c7de288c824c0)
Онда уз услов
релација је:
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{1/2}{\binom {k+b}{b}}^{-1/2}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{a}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{b}P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fcaa411a453a298c291e1f9e0636660d18b958)
где су
Следећих шест оператора:
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=&i\left(\cos \alpha \cot \beta \,{\partial \over \partial \alpha }\,+\sin \alpha \,{\partial \over \partial \beta }\,-{\cos \alpha \over \sin \beta }\,{\partial \over \partial \gamma }\,\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=&i\left(\sin \alpha \cot \beta \,{\partial \over \partial \alpha }\,-\cos \alpha \;{\partial \over \partial \beta }\,-{\sin \alpha \over \sin \beta }\,{\partial \over \partial \gamma }\,\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{3}&=&-i\;{\partial \over \partial \alpha },\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820e687fb9c9b7b353ffefcbceb74692a354efb9)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=&\,i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=&\,i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{3}&=&-i{\partial \over \partial \gamma },\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec025124db7ff9ae111ab8af15d73b6ef7c7276)
задовољава комутационе релације:
![{\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},\,{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},\,{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d986047e2b66ba6077837c0231c2bba69ea11e)
Уз то два низа узајамно комутирају:
![{\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},\,{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,\,j=1,\,2,\,3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98334cb50f15cfab709970b0137ab8ac16c484b8)
Квадрати тих оператора су једнаки:
![{\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb355fcfc06aef1084f4da01564cd0833384c41)
Експлицитни облик је:
![{\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b02331dfe0d639cd2e04239501c9683a6568cce)
Дејство оператора
на први индекс D-матрице је:
![{\displaystyle {\mathcal {J}}_{3}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=m'\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396203fce856def279f9c043fbd7c544ab203b7f)
![{\displaystyle ({\mathcal {J}}_{1}\pm i{\mathcal {J}}_{2})\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}}\,D_{m'\pm 1,m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d85e8b3dc56e72b697b799b369d87caa46fb41)
С друге стране дејство
оператора на други индекс D-матрице је:
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=m\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ada694b1330a0edb15f5353ac232792df46a4ac)
![{\displaystyle ({\mathcal {P}}_{1}\mp i{\mathcal {P}}_{2})\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}\,D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47f26dcae272a010322f09e8784d8b8eec088d5)
Коначно добија се:
![{\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d10d80123f9f34243b9d0a907659a8eabc3b06)
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527da38e8a4272ba777a21a8635fc3e06b1a582c)
Кронекеров производ D матрица
![{\displaystyle \mathbf {D} ^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes \mathbf {D} ^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c103138f36e0a7bfb41056fc20a4406cd4e86326)
чини редуцибилну матричну репрезентацију специјалних група SO(3) и SU(2). Редукцијом на иредуцибилне компоненте добија се:
![{\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J=|j-j'|}^{j+j'}\sum _{M=-J}^{J}\sum _{K=-J}^{J}\langle jmj'm'|JM\rangle \langle jkj'k'|JK\rangle D_{MK}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b9637bfd7f4e9b0eba7340632474ce385c3450)
Симболи
су Клебш-Горданови коефицијенти.
За целобројне вредности
и за други индекс једнак нули матрични елементи D-матрице пропорционални су сферним хармоницима и придруженим Лежандровим полиномима:
![{\displaystyle D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,0)={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell }^{m*}(\beta ,\alpha )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })\,e^{-im\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f3813500da18abba321882d703d58d174f90be)
Одатле се добија следећа релација за мале d-матрице:
![{\displaystyle d_{m0}^{\ell }(\beta )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d2532b1e22953a74f2eedaca94512619c1652c)
Ако су оба индекса једнака нули тада су матрични елементи пропрционални Лежандровом полиному:
![{\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b059d327da0f73054d99afde13198d77f37d061e)
За j=1/2
![{\displaystyle d_{1/2,1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415412671d66c4f70b587437990a913cf700f676)
![{\displaystyle d_{1/2,-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330240ac044a1921d1bd7c26954eaa5f59c9d7b0)
За j=1
![{\displaystyle d_{1,1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ba90740601f7e28b62fad00545e6d5a49bd44)
![{\displaystyle d_{1,0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013df0782ed16df417e729defd3751698b0550e5)
![{\displaystyle d_{1,-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2236f51e0a7c6d0929a087950314b47dac86cfa)
![{\displaystyle d_{0,0}^{1}=\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c917eea39fd8564edcecb1d4279c62886a966974)
За j=3/2
![{\displaystyle d_{3/2,3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155b1491049b299240cd697aabc8715fbeffc07e)
![{\displaystyle d_{3/2,1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af5dfc82d16d44dce68edef1a3e8620121bfbbf)
![{\displaystyle d_{3/2,-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d7e2143c3d80671fb725ef2a4c52c5174e0b9a)
![{\displaystyle d_{3/2,-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce6477744437da4bfd9e8e7a3c1919c9d94caba)
![{\displaystyle d_{1/2,1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650e5adde0dfb6e9db552c5c423887aa5d8f40c8)
![{\displaystyle d_{1/2,-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b042f78bc586f7b69c3a57e854bbc41d12d246)
За j=2
![{\displaystyle d_{2,2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6c14f0b5e3c14ab3b7c5b231a0627008efc17a)
![{\displaystyle d_{2,1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0548cccffec23bf9c0ed87fa66cce9d2af32945)
![{\displaystyle d_{2,0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c343b8c7863318b3ec0cddf96e3f2522307d319)
![{\displaystyle d_{2,-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e3ab0639b463a38fc278e6a04168b07b5eb0cf)
![{\displaystyle d_{2,-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6301e286c9afc6a37a3cbc60a5a3827ee541b9)
![{\displaystyle d_{1,1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73be8059c518084e8071ea1b013fd1ddcb247fba)
![{\displaystyle d_{1,0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa569856d90e0896414b29ee0a26b0aa5647ae0e)
![{\displaystyle d_{1,-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1d2d63a4ed8ef515f5d2397f862758b0f52912)
![{\displaystyle d_{0,0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d95549b9a636f48f1e883220dc42e6da3c0be4e)
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0486612720.
- Wigner E. P., Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York: Academic Press (1959)
- Messiah, Albert, Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). . New York: North Holland Publishing. 1981. ISBN 978-0-7204-0045-8.