Pređi na sadržaj

Vignerova D matrica

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Vignerova D matrica predstavlja matricu ireducibilnih reprezentacija grupa SU(2) i SO(3). Vignerova D matrica je kvadratna matrica operatora rotacija dimenzija sa opštim elementima:

Matrica je dobila ime po Eugenu Vigneru, koji ju je prvi uveo 1927. godine.

Definicija D matrice

[uredi | uredi izvor]

Generatori Lijevih algebri SU(2) i SO(3) označimo sa , , . Za njih vrede sledeće komutacione relacije:

Operator

predstavlja Kazimirov operator od SU(2) (ili SO(3) ). Operator rotacija može da se prikaže kao:

gde su i Ojlerovi uglovi. Vignerova D matrica je kvadratna matrica dimenzija sa opštim elementima:

Pri tome mala Vignerova d- matrica označena je sa:

Mala Vignerova d- matrica

[uredi | uredi izvor]

Mala Vignerova d- matrica može da se predstavi kao:

Matrični elementi male d- matrice povezani su sa Jakobijevim polinomima sa nenegativnim i . Neka je

Onda je:

Onda uz uslov relacija je:

gde su

Svojstva Vignerove D matrice

[uredi | uredi izvor]

Sledećih šest operatora:

zadovoljava komutacione relacije:

Uz to dva niza uzajamno komutiraju:

Kvadrati tih operatora su jednaki:

Eksplicitni oblik je:

Dejstvo operatora na prvi indeks D-matrice je:

S druge strane dejstvo operatora na drugi indeks D-matrice je:

Konačno dobija se:

Relacija ortogonalnosti

[uredi | uredi izvor]

Kronekerov proizvod matrica

[uredi | uredi izvor]

Kronekerov proizvod D matrica

čini reducibilnu matričnu reprezentaciju specijalnih grupa SO(3) i SU(2). Redukcijom na ireducibilne komponente dobija se:

Simboli su Klebš-Gordanovi koeficijenti.

Veza sa sfernim harmonicima i Ležandrovim polinomima

[uredi | uredi izvor]

Za celobrojne vrednosti i za drugi indeks jednak nuli matrični elementi D-matrice proporcionalni su sfernim harmonicima i pridruženim Ležandrovim polinomima:

Odatle se dobija sledeća relacija za male d-matrice:

Ako su oba indeksa jednaka nuli tada su matrični elementi proprcionalni Ležandrovom polinomu:

Tabela male Vignerove d- matrice

[uredi | uredi izvor]

Za j=1/2

Za j=1


Za j=3/2

Za j=2

Literatura

[uredi | uredi izvor]
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0486612720. 
  • Wigner E. P., Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York: Academic Press (1959)
  • Messiah, Albert, Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). . New York: North Holland Publishing. 1981. ISBN 978-0-7204-0045-8.