Основно решење углова јединичног круга чине множиоци углова 30 и 45 степени. Тачни алгебарски изрази за тригонометријске вредности су понекад корисни, углавном за поједностављење решења у сложеним облицима који омогућавају даље поједностављење.
Све вредности синуса, косинуса и тангенса углова са корацима од по 3° могу се у потпуности извести користећи формуле за полууглове, двоструке углове и адиционе формуле за вредности за 0°, 30°, 36°, и 45°. Треба уочити да је 1° = π/180 радијана.
Према Нивеновој теореми, једине рационалне вредности синусне функције за коју је аргумент степена угла рационалан број су вредности 0, 1/2, 1.
Списак у овом чланку је непотпун због најмање два разлога. Прво, увек је могуће применити формулу за полууглове да бисмо пронашли тачан резултат косинуса једне половине сваког угла на листи, онда половину тог угла, итд. Друго, овај чланак обухвата само прва два од пет познатих Фермаових простих бројева: 3 и 5, док алгебарске вредности такође постоје и за косинус од 2π/17, 2π/257 и 2π/65537. У пракси, све вредности синуса, косинуса и тангенса које нису нађене у овом чланку се приближно одређују помоћу техника описаних у Генерисању тригонометријских табела.
Вредности углова ван опсега [0°, 45°] су изведени тривијално од ових вредности, користећи круг рефлексије осе симетрије. (Видети тригонометријске идентитете.)
У наредним случајевима, у којима је одређени број степени у вези са неким правилним многоуглом, однос је тај да је број степени у сваком унутрашњем углу многоугла (n –2) пута већи од наведеног броја степени (где је n број страница). Разлог томе је чињеница да је збир углова сваког n -тоугла једнак 180°×(n –2), те је величина сваког угла у било ком правилном n -тоуглу једнака 180°×(n –2)÷n . Тако, на пример, у случају "45°: квадрат" значи да је, за n =4, 180°÷n = 45°, и да је број степени било ког унутрашњег угла квадрата једнак (n –2)×45° = 90°.
sin
0
=
0
{\displaystyle \sin 0=0\,}
cos
0
=
1
{\displaystyle \cos 0=1\,}
tan
0
=
0
{\displaystyle \tan 0=0\,}
cot
0
nije definisano
{\displaystyle \cot 0{\text{ nije definisano}}\,}
sin
π
60
=
sin
3
∘
=
1
16
[
2
(
1
−
3
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
(
3
+
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]\,}
cos
π
60
=
cos
3
∘
=
1
16
[
2
(
1
+
3
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
(
3
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)\right]\,}
tan
π
60
=
tan
3
∘
=
1
4
[
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
[
2
−
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
cot
π
60
=
cot
3
∘
=
1
4
[
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
[
2
+
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
sin
π
30
=
sin
6
∘
=
1
8
[
6
(
5
−
5
)
−
5
−
1
]
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]\,}
cos
π
30
=
cos
6
∘
=
1
8
[
2
(
5
−
5
)
+
3
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]\,}
tan
π
30
=
tan
6
∘
=
1
2
[
2
(
5
−
5
)
−
3
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
cot
π
30
=
cot
6
∘
=
1
2
[
3
(
3
+
5
)
+
2
(
25
+
11
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}\right]\,}
sin
π
20
=
sin
9
∘
=
1
8
[
2
(
5
+
1
)
−
2
5
−
5
]
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}
cos
π
20
=
cos
9
∘
=
1
8
[
2
(
5
+
1
)
+
2
5
−
5
]
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}
tan
π
20
=
tan
9
∘
=
5
+
1
−
5
+
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
π
20
=
cot
9
∘
=
5
+
1
+
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
15
=
sin
12
∘
=
1
8
[
2
(
5
+
5
)
−
3
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
cos
π
15
=
cos
12
∘
=
1
8
[
6
(
5
+
5
)
+
5
−
1
]
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}
tan
π
15
=
tan
12
∘
=
1
2
[
3
(
3
−
5
)
−
2
(
25
−
11
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}\right]\,}
cot
π
15
=
cot
12
∘
=
1
2
[
3
(
5
+
1
)
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
sin
π
12
=
sin
15
∘
=
1
4
2
(
3
−
1
)
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)\,}
cos
π
12
=
cos
15
∘
=
1
4
2
(
3
+
1
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)\,}
tan
π
12
=
tan
15
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
cot
π
12
=
cot
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,}
tan
π
10
=
tan
18
∘
=
1
5
5
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,}
cot
π
10
=
cot
18
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
7
π
60
=
sin
21
∘
=
1
16
[
2
(
3
+
1
)
5
−
5
−
2
(
3
−
1
)
(
1
+
5
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,}
cos
7
π
60
=
cos
21
∘
=
1
16
[
2
(
3
−
1
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
1
+
5
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,}
tan
7
π
60
=
tan
21
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
]
[
2
−
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
cot
7
π
60
=
cot
21
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
]
[
2
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
sin
π
8
=
sin
22.5
∘
=
1
2
2
−
2
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},}
cos
π
8
=
cos
22.5
∘
=
1
2
2
+
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
tan
π
8
=
tan
22.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
cot
π
8
=
cot
22.5
∘
=
2
+
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}
sin
2
π
15
=
sin
24
∘
=
1
8
[
3
(
5
+
1
)
−
2
5
−
5
]
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}
cos
2
π
15
=
cos
24
∘
=
1
8
(
6
5
−
5
+
5
+
1
)
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,}
tan
2
π
15
=
tan
24
∘
=
1
2
[
2
(
25
+
11
5
)
−
3
(
3
+
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\right]\,}
cot
2
π
15
=
cot
24
∘
=
1
2
[
2
5
−
5
+
3
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
sin
3
π
20
=
sin
27
∘
=
1
8
[
2
5
+
5
−
2
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
cos
3
π
20
=
cos
27
∘
=
1
8
[
2
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
tan
3
π
20
=
tan
27
∘
=
5
−
1
−
5
−
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
3
π
20
=
cot
27
∘
=
5
−
1
+
5
−
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
6
=
sin
30
∘
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,}
cos
π
6
=
cos
30
∘
=
1
2
3
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,}
tan
π
6
=
tan
30
∘
=
3
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\,}
cot
π
6
=
cot
30
∘
=
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
sin
11
π
60
=
sin
33
∘
=
1
16
[
2
(
3
−
1
)
5
+
5
+
2
(
1
+
3
)
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
cos
11
π
60
=
cos
33
∘
=
1
16
[
2
(
3
+
1
)
5
+
5
+
2
(
1
−
3
)
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,}
tan
11
π
60
=
tan
33
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
]
[
2
+
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
cot
11
π
60
=
cot
33
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
]
[
2
−
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
1
4
2
(
5
−
5
)
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\,}
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
1
+
5
4
=
1
2
φ
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,}
где је
φ
{\displaystyle \varphi }
златни пресек ;
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
π
5
=
cot
36
∘
=
1
5
5
(
5
+
2
5
)
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\,}
sin
13
π
60
=
sin
39
∘
=
1
16
[
2
(
1
−
3
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)]\,}
cos
13
π
60
=
cos
39
∘
=
1
16
[
2
(
1
+
3
)
5
−
5
+
2
(
3
−
1
)
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)]\,}
tan
13
π
60
=
tan
39
∘
=
1
4
[
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
]
[
2
−
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
cot
13
π
60
=
cot
39
∘
=
1
4
[
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
−
2
]
[
2
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}
sin
7
π
30
=
sin
42
∘
=
6
5
+
5
−
5
+
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
cos
7
π
30
=
cos
42
∘
=
2
5
+
5
+
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}\,}
tan
7
π
30
=
tan
42
∘
=
3
(
5
+
1
)
−
2
5
+
5
2
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}\,}
cot
7
π
30
=
cot
42
∘
=
2
(
25
−
11
5
)
+
3
(
3
−
5
)
2
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})}{2}}\,}
sin
π
4
=
sin
45
∘
=
2
2
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
cos
π
4
=
cos
45
∘
=
2
2
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
tan
π
4
=
tan
45
∘
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,}
cot
π
4
=
cot
45
∘
=
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,}
sin
π
3
=
sin
60
∘
=
1
2
3
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,}
cos
π
3
=
cos
60
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\,}
tan
π
3
=
tan
60
∘
=
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
cot
π
3
=
cot
60
∘
=
1
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\,}
Као пример употребе ових константи, размотримо додекаедар наредне запремине, где је a дужина неке ивице:
V
=
5
a
3
cos
36
∘
tan
2
36
∘
{\displaystyle V={\frac {5a^{3}\cos {36^{\circ }}}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}}
Користећи
cos
36
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,}
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
могуће је наредно упрошћење:
V
=
a
3
(
15
+
7
5
)
20
{\displaystyle V={\frac {a^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{20}}\,}
Правилан многоугао (N -тоугао) и његов основни правоугли троугао. Угао: a =180/n ° Извођења синусних, косинусних и тангенсних константи у радијалним облицима је засновано на конструктибилности правоуглих троуглова.
Овде се при одређивању тригонометријских пропорција користе правоугли троуглови који потичу од симетричних одсечака правилних многоуглова. Сваки правоугли троугао представља три тачке у правилном многоуглу: теме, средиште странице која садржи то теме и центар многоугла. Сваки n -тоугао може да се подели на 2n правоуглих троуглова са угловима од {180/n , 90−180/n , 90} степени, за n који су 3, 4, 5, ...
Конструктибилност 3, 4, 5, и 15-остраних многоуглова је основа, а симетрале углова омогућавају извођење умношци за по 2.
Конструктибилни
3×2n n 0, 1, 2, 3, ...
30°-60°-90° троугао: правоугли троугао (3-страни)
60°-30°-90° троугао: шестоугао (6-страни)
75°-15°-90° троугао: дванаестоугао (12-страни)
82.5°-7.5°-90° троугао: 24-страни
86.25°-3.75°-90° троугао: 48-страни
...
4×2n 45°-45°-90° троугао: квадрат (4страни)
67.5°-22.5°-90° троугао: осмоугао (8-страни)
78.75°-11.25°-90° троугао: шеснаестоугао (16-страни)
...
5×2n 54°-36°-90° троугао: петоугао (5-страни)
72°-18°-90° троугао: десетоугао (10-страни)
81°-9°-90° троугао: 20-страни
85.5°-4.5°-90° троугао: 40-страни
87.75°-2.25°-90° троугао: 80-страни
...
15×2n 78°-12°-90° троугао: 15-страни
84°-6°-90° троугао: 30-страни
87°-3°-90° троугао: 60-страни
88.5°-1.5°-90° троугао: 120-страни
89.25°-0.75°-90° троугао: 240-страни
... (Виши конструктибилни правилни полигони не дају целобројне углове: 17, 51, 85, 255, 257...)
Неконструктибилни (са целобројним или половином целобројних величина углова) – Ниједан коначан израз са коренима над реалним бројевима није могућ за ове пропорције међу страницама троугла, те нису могући ни њихови умношци за по 2.
9×2n 70°-20°-90° троугао: деветоугао (9-страни)
80°-10°-90° троугао: 18-страни
85°-5°-90° троугао: 36-страни
87.5°-2.5°-90° троугао: 72-страни
...
45×2n 86°-4°-90° троугао: 45-страни
88°-2°-90° троугао: 90-страни
89°-1°-90° троугао: 180-страни
89.5°-0.5°-90° троугао: 360-страни
... У степенима: 0, 30, 45, 60, и 90 могу да се израчунају из одговарајућих троуглова применом Питагорине теореме.
Chord(36°) = a /b = 1/f , из Птоломејеве теореме Примена Птоломејеве теореме на тетиван четвороугао ABCD дефинисан са четири узастопна темена петоугла, добије се да је:
c
r
d
36
∘
=
c
r
d
(
∠
A
D
B
)
=
a
b
=
2
1
+
5
,
{\displaystyle \mathrm {crd} \ {36^{\circ }}=\mathrm {crd} \left(\angle \mathrm {ADB} \right)={\frac {a}{b}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}},}
што је реципрочан број 1/φ од златног пресека . Crd је дужина тетиве са централним углом једнаким аргументу у јединичном кругу:
c
r
d
θ
=
2
sin
θ
2
.
{\displaystyle \mathrm {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}.\,}
Следи
sin
18
∘
=
1
1
+
5
.
{\displaystyle \sin {18^{\circ }}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}.}
(На други начин, без коришћења Птоломејеве теореме, означимо са X пресек AC и BD, и разматрањем углова закључимо да је AXB једнакокрак , те је AX = AB = a . Троуглови AXD и CXB су слични јер су AD и BC паралелне. Зато XC = a ·(a /b ). Али AX + XC = AC, те a + a 2 /b = b . Решавањем се добије a /b = 1/φ , као и горе).
Слично
c
r
d
108
∘
=
c
r
d
(
∠
A
B
C
)
=
b
a
=
1
+
5
2
,
{\displaystyle \mathrm {crd} \ 108^{\circ }=\mathrm {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}
те следи
sin
54
∘
=
cos
36
∘
=
1
+
5
4
.
{\displaystyle \sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.}
Применом формула за вишеструке углове се из познатих вредности тригонометријских функција од
5
x
{\displaystyle 5x\,}
x
∈
{
18
,
36
,
54
,
72
,
90
}
{\displaystyle x\in \{18,36,54,72,90\}\,}
5
x
∈
{
90
,
180
,
270
,
360
,
450
}
{\displaystyle 5x\in \{90,180,270,360,450\}\,}
x
{\displaystyle x}
sin
5
x
=
16
sin
5
x
−
20
sin
3
x
+
5
sin
x
{\displaystyle \sin {5x}=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x\,}
cos
5
x
=
16
cos
5
x
−
20
cos
3
x
+
5
cos
x
{\displaystyle \cos {5x}=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\,}
За
sin
5
x
=
0
{\displaystyle \sin {5x}=0\,}
cos
5
x
=
0
{\displaystyle \cos {5x}=0\,}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x\,}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x\,}
y
{\displaystyle y\,}
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
=
0
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y=0\,}
Једно решење је нула, а резултујућа једначиа четвртог степена може да се реши као квадратна по
y
2
{\displaystyle y^{2}\,}
За
sin
5
x
=
1
{\displaystyle \sin {5x}=1\,}
cos
5
x
=
1
{\displaystyle \cos {5x}=1\,}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x\,}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x\,}
y
{\displaystyle y\,}
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
−
1
=
0
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0\,}
што може да се растави:
(
y
−
1
)
(
4
y
2
+
2
y
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle (y-1)(4y^{2}+2y-1)^{2}=0\,}
9° је 45-36, и 27° је 45−18; те користимо формуле за синус и косинус разлике. 6° је 36-30, 12° је 30−18, 24° је 54−30, и 42° је 60−18; те користимо формуле за синус и косинус разлике. 3° је 18−15, 21° је 36−15, 33° је 18+15, и 39° је 54−15, те користимо одговарајуће адиционе формуле за синус и косинус. Ако је именилац квадратни корен, помножити бројилац и именилац тим кореном.
Ако је именилац збир или разлика два члана, помножити бројилац и именилац конјугатом имениоца. Конјугат имениоца је идентичан имениоцу изузев промене у знаку између чланова.
Некада је неопходно вишеструко рационалисање имениоца. Некада је корисна подела разломка на збир два, након чега се они засебно упросте. Ако постоји компликован члан, при чему постоји само једна врста корена, оваква идеја може да помогне. Квадрира се члан, комбинују се слични чланови, а затим се одреди квадратни корен. Ово може да да корен унутар корена, али је углавном бољи облик од полазног. У општем случају није могуће упрошћавање угњеждених коренова.
Међутим, ако је за
a
+
b
c
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}\,}
R
=
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,}
рационално, а оба броја
d
=
±
a
±
R
2
and
e
=
±
a
±
R
2
c
{\displaystyle d=\pm {\sqrt {\frac {a\pm R}{2}}}{\text{ and }}e=\pm {\sqrt {\frac {a\pm R}{2c}}}\,}
сз такође рационалнни, уз одговарајући избор четири ± знака, следи
a
+
b
c
=
d
+
e
c
.
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}.\,}
На пример,
4
sin
18
∘
=
6
−
2
5
=
5
−
1.
{\displaystyle 4\sin {18^{\circ }}={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}-1.\,}
Weisstein, Eric W. „Constructible polygon” . MathWorld Weisstein, Eric W. „Trigonometry angles” . MathWorld Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). „Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3”. Int. J. Quantum Chemistry . 90 (1): 42–53. doi :10.1002/qua.1803 . Conway, John H.; Radin, Charles ; Radun, Lorenzo (1998). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. arXiv :math-ph/9812019 Conway, John H.; Radin, Charles ; Radun, Lorenzo (1999). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. Disc. and Comp. Geom . 22 (3): 321–332. MR 1706614 . doi :10.1007/PL00009463 . Girstmair, Kurt (1997). „Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n”. Acta Arithmetica . 81 : 387–398. MR 1472818 . Gurak, S. (2006). „On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers”. Mathematics of Computation . 75 (256): 2021–2035. Bibcode :2006MaCom..75.2021G . MR 2240647 . doi :10.1090/S0025-5718-06-01885-0 . Servi, L. D. (2003). „Nested square roots of 2”. Am. Math. Monthly . 110 (4): 326–330. JSTOR 3647881 . MR 1984573 . doi :10.2307/3647881 . 
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6d0ff8a889e7f8b754988fcbd6ba98380ed570)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd184460e47162735bde15cf93ad6f515fab79ef)
![{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afc8cae3b0181ce3ca0fa38cd9737a9096fc5de)
![{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b010ae9dc1e68b6ef1be95008a95a4f19089ad3c)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32eed64add3521d7d7c9bf695482e8c3add4c36)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90aff5eb92b8553f8dfd11cd76f3f30bd223560)
![{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca95e17f7bfec511a0d9029c1aa1a0c8e5cc5630)
![{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4b083760baa9008b86595e91600a410442cd08)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fa0f780bd4389e9346cd20ee41ea5982c3335b)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e1418c61026ab91e3baa4bbf3118d80468dd69)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fb1a72c84d5dec8bf231d619c534df13c261ef)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4923130317e1553f2cfd21ca42c4e29cd2f1f836)
![{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a207e48f104ece1821014496f7b32e371956076d)
![{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a365437b27a47971bc1b6ba646a55cc64028d65a)
![{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff732646ec0ca23f9f68a4d1ee73d1795f252c26)
![{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e7440f71edd44040f9fb2f6ef00da5a9361eeb)
![{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966ce4718377b52eba218988bb7863f78a12d062)
![{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67aff972235eb8fe67a96bce37d05b81afc85442)
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748d70aaab6ed6e9d613d6ef799e612174f96970)
![{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751f49b7e0a84e36750d6df47e69f7e5ca2f4ba2)
![{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7356b37ae7753d547b8f84a2dae050a2efcdb5f)
![{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f979b3d0d06f3124dd266ee7860dd955e654c1)
![{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb2b0c3a9180d29f4f03129dd067a1b992b7332)
![{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9448eb3706b6f462f1db32cf35b8fcb21b6b19)
![{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556981166d36ff827d365539dc1c3927cd65e376)
![{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bddc9e197ce12bebf3121cbd1eed3d3171b4213)
![{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right]\left[2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbebd82a0521850dbf313d264e60a43a7c8faf85)
![{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9747c181f024a8e812ac7113ede3a454128a50d8)
![{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}[2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2772866ea70f64975dd96e5843ea3dff9392189)
![{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca29bb8cfbce994a3b86ad88977c64ebf77aa53)
![{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right]\left[2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d18ae9651f056834e7c47ddb6b860f2fd9b3e54)
.