Osnovno rešenje uglova jediničnog kruga čine množioci uglova 30 i 45 stepeni.
Tačni algebarski izrazi za trigonometrijske vrednosti su ponekad korisni, uglavnom za pojednostavljenje rešenja u složenim oblicima koji omogućavaju dalje pojednostavljenje.
Sve vrednosti sinusa, kosinusa i tangensa uglova sa koracima od po 3° mogu se u potpunosti izvesti koristeći formule za poluuglove, dvostruke uglove i adicione formule za vrednosti za 0°, 30°, 36°, i 45°. Treba uočiti da je 1° = π/180 radijana.
Prema Nivenovoj teoremi, jedine racionalne vrednosti sinusne funkcije za koju je argument stepena ugla racionalan broj su vrednosti 0, 1/2, 1.
Spisak u ovom članku je nepotpun zbog najmanje dva razloga. Prvo, uvek je moguće primeniti formulu za poluuglove da bismo pronašli tačan rezultat kosinusa jedne polovine svakog ugla na listi, onda polovinu tog ugla, itd. Drugo, ovaj članak obuhvata samo prva dva od pet poznatih Fermaovih prostih brojeva: 3 i 5, dok algebarske vrednosti takođe postoje i za kosinus od 2π/17, 2π/257 i 2π/65537. U praksi, sve vrednosti sinusa, kosinusa i tangensa koje nisu nađene u ovom članku se približno određuju pomoću tehnika opisanih u Generisanju trigonometrijskih tabela.
Vrednosti uglova van opsega [0°, 45°] su izvedeni trivijalno od ovih vrednosti, koristeći krug refleksije ose simetrije. (Videti trigonometrijske identitete.)
U narednim slučajevima, u kojima je određeni broj stepeni u vezi sa nekim pravilnim mnogouglom, odnos je taj da je broj stepeni u svakom unutrašnjem uglu mnogougla (n–2) puta veći od navedenog broja stepeni (gde je n broj stranica). Razlog tome je činjenica da je zbir uglova svakog n-tougla jednak 180°×(n–2), te je veličina svakog ugla u bilo kom pravilnom n-touglu jednaka 180°×(n–2)÷n. Tako, na primer, u slučaju "45°: kvadrat" znači da je, za n=4, 180°÷n = 45°, i da je broj stepeni bilo kog unutrašnjeg ugla kvadrata jednak (n–2)×45° = 90°.
Pravilan mnogougao (N-tougao) i njegov osnovni pravougli trougao. Ugao: a=180/n °
Izvođenja sinusnih, kosinusnih i tangensnih konstanti u radijalnim oblicima je zasnovano na konstruktibilnosti pravouglih trouglova.
Ovde se pri određivanju trigonometrijskih proporcija koriste pravougli trouglovi koji potiču od simetričnih odsečaka pravilnih mnogouglova. Svaki pravougli trougao predstavlja tri tačke u pravilnom mnogouglu: teme, središte stranice koja sadrži to teme i centar mnogougla. Svaki n-tougao može da se podeli na 2n pravouglih trouglova sa uglovima od {180/n, 90−180/n, 90} stepeni, za n koji su 3, 4, 5, ...
Konstruktibilnost 3, 4, 5, i 15-ostranih mnogouglova je osnova, a simetrale uglova omogućavaju izvođenje umnošci za po 2.
Konstruktibilni
3×2n-tostrani pravilni mnogouglovi, za n 0, 1, 2, 3, ...
... (Viši konstruktibilni pravilni poligoni ne daju celobrojne uglove: 17, 51, 85, 255, 257...)
Nekonstruktibilni (sa celobrojnim ili polovinom celobrojnih veličina uglova) – Nijedan konačan izraz sa korenima nad realnim brojevima nije moguć za ove proporcije među stranicama trougla, te nisu mogući ni njihovi umnošci za po 2.
9×2n-tougao
70°-20°-90° trougao: devetougao (9-strani)
80°-10°-90° trougao: 18-strani
85°-5°-90° trougao: 36-strani
87.5°-2.5°-90° trougao: 72-strani
...
45×2n-tostrani
86°-4°-90° trougao: 45-strani
88°-2°-90° trougao: 90-strani
89°-1°-90° trougao: 180-strani
89.5°-0.5°-90° trougao: 360-strani
...
Izračunate trigonometrijske vrednosti za sinus i kosinus[uredi | uredi izvor]
Primena Ptolomejeve teoreme na tetivan četvorougao ABCD definisan sa četiri uzastopna temena petougla, dobije se da je:
što je recipročan broj 1/φ od zlatnog preseka. Crd je dužina tetive sa centralnim uglom jednakim argumentu u jediničnom krugu:
Sledi
(Na drugi način, bez korišćenja Ptolomejeve teoreme, označimo sa X presek AC i BD, i razmatranjem uglova zaključimo da je AXB jednakokrak, te je AX = AB = a. Trouglovi AXD i CXB su slični jer su AD i BC paralelne. Zato XC = a·(a/b). Ali AX + XC = AC, te a + a2/b = b. Rešavanjem se dobije a/b = 1/φ, kao i gore).
Primenom formula za višestruke uglove se iz poznatih vrednosti trigonometrijskih funkcija od , gde i , mogu dobiti i vrednosti funkcija od . Formule višestrukih uglova su:
,
.
Za ili , označimo ili i rešimo po :
.
Jedno rešenje je nula, a rezultujuća jednačia četvrtog stepena može da se reši kao kvadratna po .
Ako je imenilac kvadratni koren, pomnožiti brojilac i imenilac tim korenom.
Ako je imenilac zbir ili razlika dva člana, pomnožiti brojilac i imenilac konjugatom imenioca. Konjugat imenioca je identičan imeniocu izuzev promene u znaku između članova.
Nekada je neophodno višestruko racionalisanje imenioca.
Ako postoji komplikovan član, pri čemu postoji samo jedna vrsta korena, ovakva ideja može da pomogne. Kvadrira se član, kombinuju se slični članovi, a zatim se odredi kvadratni koren. Ovo može da da koren unutar korena, ali je uglavnom bolji oblik od polaznog.
Uprošćavanje izraza sa ugnježdenim korenovima[uredi | uredi izvor]
Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). „Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3”. Int. J. Quantum Chemistry. 90 (1): 42–53. doi:10.1002/qua.1803.
Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1998). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. arXiv:math-ph/9812019.
Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1999). „On angles whose squared trigonometric functions are rational”. Disc. and Comp. Geom. 22 (3): 321–332. MR1706614. doi:10.1007/PL00009463.
Girstmair, Kurt (1997). „Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n”. Acta Arithmetica. 81: 387–398. MR1472818.