Златни пресек

Из Википедије, слободне енциклопедије
За другу употребу, погледајте страницу Sectio aurea.
\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}
Златни правоугаоник (у ружичастом) са дужом страном a и краћом страном side b, када је постављен поред квадрата дужине a, произвешће геометријску сличност златног правоуганика са дужом страном a + b и краћом страном a. Ово илуструје однос  \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi.

У математици две величине су у златном односу, ако је однос између две величине једнак односу суме те две вредности наспрам веће вредности. Слика на десној страни илуструје геометријски однос. Алгебарски, за количине a и b и a > b > 0,

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \varphi,

грчко слово фи (\varphi или \phi) представља константу. Њена вредност је:

\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots. OEISA001622

Златни однос има и назив златни пресек (латински: sectio aurea).[1][2]. Остали називи укључују екстремни однос,[3] средишњи пресек, златна пропорција, и златни број.[4][5][6]

Златни однос се појављује у неким шаблонима у природи, укључујући phyllotaxis (спирално ређање листова) и у другим деловима биљака.

Математичари још од Еуклида су проучавали својства златног односа, укључујући појављивање у димензијама правилног петоугла и у златном правоугаонику, који може да се подели у квадрат и још један правоугаоник истог односа.

Прорачун[уреди]

Шаблон:Ирационалан број
Бинарни 1.1001111000110111011...
Декадни 1.6180339887498948482... OEISA001622
Хексадецимални 1.9E3779B97F4A7C15F39...
Верижни разломак 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}
Алгебарски облик \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
Бесконачни ред \frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}

Две величине a и b су у златном односу φ ако

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.

Један метод за проналажење вредности φ је са решавањем леве стране. Упрошћавањем разломка и заменом у b/a = 1/φ,

\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.

Стога је,

 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi.

Множењем са φ даје

\varphi + 1 = \varphi^2

које може да се изрази као

{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.

Коришћењем формуле за решавање квадратне једначине, добијају се два решења:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots

и

\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.6180\,339887\dots

Зато што је φ однос између две позитивне вредности, φ је увек позитивна вредност:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots .

Алгебра[уреди]

Ирационалност[уреди]

Златни однос је ирационалан број. Испод су два кратка доказa o ирационалности:

Контрадикција изразу у најнижој вредности[уреди]

Да је φ рационалан број, онда би био омер странама правоугаоника са целим странама (правоугаоник који обухвата цео дијаграм). Али би такође био и однос целобројних страна мањег правоугаоника (десни део дијаграма) добијен брисањем квадрата. Секвенца смањења целобројне вредности дужине странице формиране брисањем квадрата не може вечно трајати јер цели бројеви имају доње границе, стога φ не може бити рационалан.

Подсетимо се да:

целина је дужи део плус краћи део;
целина је дужи део као што је дужи део на краћи део.

Ако целину именујемо са n а дужи део са m, онда друга изјава постаје:

n је према m исто као што је m према n − m,

или, алгебарски

 \frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*)

Тврдити да је φ рационалан значи да је φ однос n/m где су n и m цели бројеви. Можемо рећи и да n/m имају најниже вредности и да су n и m позитивни бројеви. Али ако је разломак n/m у најнижим вредностима, онда се идентитет обележава са (*) за горњу једначину m/(n − m) која и даље поседује најниже вредности. То је контрадикција која произлази из тврдње да је φ рационалан.

Извод из ирационалности броја √5[уреди]

Још један кратак доказ — вероватно познатији — где ирационалност златног односа користи затвореност рационалних бројева код сабирања и множења. Ако је \textstyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2} рационалан, онда је и \textstyle2\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) - 1= \sqrt{5} такође рационалан, што је противречно чињеници да је квадратни корен од не-квадрата природног броја ирационалан.

Најмањи полином[уреди]

Златни однос је такође и алгебарски број а чак и алгебарски цео број (комплексан број који је корен унарног полинома). Најмањи полином гласи:

x^2 - x - 1

Због члана са степеном 2, овај полином уствари има два корена, и друга вредност је сродник златном односу.

Сродник златног пресека[уреди]

Друга корена вредност најмањег полинома x2 - x - 1 је

-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.61803\,39887\dots.

Апсолутна вредност ове количине (≈ 0.618) одговара дужини односа у обрнутом смеру (дужина краће стране у односу на дужу страну, b/a), понекад позната под именом сродник златног пресека.[7] Означава се великим словом фи (\Phi):

\Phi = {1 \over \varphi} = \varphi^{-1} = 0.61803\,39887\ldots.

Види још[уреди]

Референце и фусноте[уреди]

  1. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. 
  2. Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  3. Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
  4. Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
  5. William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
  6. Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  7. Weisstein, Eric W., "Golden Ratio Conjugate", MathWorld.

Опширније о овој теми[уреди]

  • Doczi, György (2005) [1981]. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. ISBN 1-59030-259-1. 
  • Huntley, H. E. (1970). The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-22254-3. 
  • Joseph, George G. (2000) [1991]. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (New ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. 
  • Livio, Mario (2002) [2002]. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number (Hardback ed.). NYC: Broadway (Random House). ISBN 0-7679-0815-5. 
  • Sahlqvist, Leif (2008). Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design (3rd Rev. ed.). Charleston, SC: BookSurge. ISBN 1-4196-2157-2. 
  • Schneider, Michael S. (1994). A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. ISBN 0-06-016939-7. 
  • Scimone, Aldo (1997). La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica. Palermo: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0. 
  • Stakhov, A. P. (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Singapore: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-277-582-5. 
  • Walser, Hans (2001) [Der Goldene Schnitt 1993]. The Golden Section. Peter Hilton trans.. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-534-8. 

Спољашње везе[уреди]