Алгебарска теорија бројева

С Википедије, слободне енциклопедије
Насловна страна првог издања Disquisitiones Arithmeticae, једног од оснивачких радова модерне алгебријске теорије бројева.

Алгебарска теорија бројева је грана теорије бројева која користи технике апстрактне алгебре за студирање целих бројева, рационалних бројева, и њихових генерализација. Теоретска питања о бројевима изражена су у својствима алгебарских објеката као што су алгебарска поља бројева и њихових прстенова целих бројева, коначних поља и функцијских поља. Ова својства, попут тога да ли прстен признаје јединствену факторизацију, понашање идеала и Галуових група поља, могу решити питања од примарног значаја у теорији бројева, попут постојања решења Диофантских једначина.

Историја алгебријске теорије бројева[уреди | уреди извор]

Диофант[уреди | уреди извор]

Почеци алгебријске теорије бројеве могу се пратити до Диофантових једначина,[1] именованих по александријским математичару из 3. века, Диофанту, који их је студирао и развио методе за решавање једног облика тих једначина.[2] Типичан Диофантски проблем је да се нашу два цела броја x и y таквих да су њихова сума, и сума њихових квадрата, једнаки са два дата броја А и Б, респективно:

Диофантове једначине су изучаване хиљадама година. На пример, решења квадратне Диофантове једначине x2 + y2 = з2 су дата Питагориним тројкама, које су оригинално решили Вавилонци (ц. 1800 пне).[3] Решења линеарних Диофантових једначина, као што је 26x + 65y = 13, могу се наћи користећи Еуклидов алгоритам (ц. 5. век пне).[4]

Диофантов главни рад је била Arithmetica, од које је само једна порција сачувана..[5][6][7][8]

Фермат[уреди | уреди извор]

Последња Фермаова теорема је била првобитно постулирана од стране Пјера де Ферме 1637. године, чувено на маргинама копије Arithmetica где је тврдио да има доказ који је превелик да би могао стати на маргину. Успешан доказ није објављен до 1995. године упркос напорима безбројних математичара током 358 интервентних година. Нерешени проблем подстакао је развој теорије алгебричних бројева у 19. веку и доказ теореме модуларности у 20. веку.[9]

Гаус[уреди | уреди извор]

Једно од оснивачких дела теорије алгебричних бројева, Disquisitiones Arithmeticae (латин: Arithmetical Investigations) је уџбеник теорије бројева, који је написао на латинском језику[10] Карл Фридрих Гаус 1798. године, када је имао 21 годину,[11][12][13][14] а први пут је објављен 1801. године, када је имао 24 године У овој књизи Гаус обједињује резултате у теорији бројева добијене од математичара као што су Фермат, Ојлер, Лагранж и Лежандр и додаје важне нове резултате. Пре објављивања Disquisitiones, теорија бројева састојала се од збирке изолованих теорема и претпоставки. Гаус је дело својих претходника заједно са својим оригиналним делом увео у систематски оквир, попунио празнине, исправио неосноване доказе и проширио тему на бројне начине.[15][16]

Дирихле[уреди | уреди извор]

У неколико радова 1838. и 1839. године Петер Дирихле је доказао прву класу бројевних формула за квадратне форме (што је касније усавршавао његов ученик Леополд Кронекер). Формула, коју је Јакоби назвао резултатом који „додиче врхунац људске оштроумности”, отворила је пут за сличне резултате у погледу општих бројних поља.[17] На основу свог истраживања структуре јединичних група квадратних поља, он је доказао Дирихлеову јединичну теорему, што је фундаментални резултат у алгебарској теорији бројева.[18]

Прво је користио Дирихлеов принцип, основни аргумент бројања, у доказу теореме у Диофантовој апроксимацији, који је касније назван по њему. Он је објавио важне доприносе последњој теорији Фермата, за коју је доказао случајеве n = 5 и n = 14, и закон о бикватралном реципроцитету.[17] Проблем Дирихлеовог делиоца, за који је нашао прве резултате,[19][20] још увек је нерешен проблем у теорији бројева упркос каснијим доприносима других истраживача.[21][22][23]

Хилберт[уреди | уреди извор]

Давид Хилберт је објединио поље алгебарске теорије бројева својим трактатом Zahlbericht из 1897. године (дословно „извештај о бројевима”). Такође је решио значајан проблем теорије бројева који је формулисао Воринг 1770. Као и код теореме о коначности, користио је доказ постојања који показује да мора постојати решење за проблем, уместо пружања механизма за добијање одговора.[24] Потом је имао мало тога да објави о овој теми; али је појава Хилбертових модуларних форми у дисертацији студента значила да је његово име надаље везано за главно подручје.

Он је израдио низ претпоставки о класи теорије поља. Ти концепти су били врло утицајни, а његов лични допринос је овековечен у именима Хилбертове класе поља и Хилбертовом симболу локалне класе теорије поља. Резултати су већим делом доказани 1930. године, након рада Тејџија Такагија.[25]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Старк, стр. 145–146
  2. ^ „Диопхантус оф Алеxандриа (Греек матхематициан)”. Енцyцлопæдиа Британница. Приступљено 11. 4. 2013. 
  3. ^ Ацзел, стр. 14–15
  4. ^ Старк, стр. 44–47
  5. ^ Магилл, Франк Н., ур. (1998). Дицтионарy оф Wорлд Биограпхy. 1. Салем Пресс. стр. 362. ИСБН 9781135457396. 
  6. ^ Хогендијк, Јан П. (1985). „Ревиеw оф Ј. Сесиано, Боокс IV то VII оф Диопхантус' Аритхметица”. Приступљено 6. 7. 2014. „Онлy сиx оф тхе тхиртеен боокс оф тхе Аритхметица оф Диопхантус (ца. А.D. 250) аре еxтант ин Греек. Тхе ремаининг боокс wере белиевед то бе лост, унтил тхе рецент дисцоверy оф а медиевал Арабиц транслатион оф фоур оф тхе ремаининг боокс ин а манусцрипт ин тхе Схрине Либрарy ин Месхед ин Иран (сее тхе цаталогуе [Гулцхин-и Ма'ани 1971-1972, пп. 235-236]. Тхе манусцрипт wас дисцоверед ин 1968 бy Ф. Сезгин).” 
  7. ^ Боyер, Царл Б. (1991). „Тхе Арабиц Хегемонy”. А Хисторy оф Матхематицс (Сецонд изд.). Јохн Wилеy & Сонс, Инц. стр. 234. ИСБН 0-471-54397-7. „Ноте тхе омиссион оф Диопхантус анд Паппус, аутхорс wхо евидентлy wере нот ат фирст кноwн ин Арабиа, алтхоугх тхе Диопхантине Аритхметица бецаме фамилиар бефоре тхе енд оф тхе тентх центурy.” 
  8. ^ Боyер, Царл Б. (1991). „Тхе Арабиц Хегемонy”. А Хисторy оф Матхематицс (Сецонд изд.). Јохн Wилеy & Сонс, Инц. стр. 239. ИСБН 0-471-54397-7. „Абу'л-Wефа wас а цапабле алгебраист ас wелл ас а тригонометер. Хе цомментед он ал-Кхwаризми'с Алгебра анд транслатед фром Греек оне оф тхе ласт греат цлассицс, тхе Аритхметица оф Диопхантус.” 
  9. ^
  10. ^ Дисqуиситионес Аритхметицае ат Yалепресс.yале.еду
  11. ^ Wалтерсхаусен, Wолфганг Сарториус вон (1856), Гаусс зум Гедäцхтнисс (на језику: Герман), С. Хирзел, стр. 12 
  12. ^ Бруно, Леонард C. (2003) [1999]. Матх анд матхематицианс : тхе хисторy оф матх дисцовериес ароунд тхе wорлд. Бакер, Лаwренце W. Детроит, Мицх.: У X L. стр. 178. ИСБН 978-0-7876-3813-9. ОЦЛЦ 41497065. 
  13. ^ "Гаусс, Царл Фриедрицх (1777–1855)." (2014). Ин Тхе Хутцхинсон Дицтионарy оф сциентифиц биограпхy. Абингтон, Унитед Кингдом: Хелицон.
  14. ^ Бриан Хаyес (14. 11. 2009). „Гаусс'с Даy оф Рецконинг”. Америцан Сциентист. 94 (3): 200. дои:10.1511/2006.3.200. Приступљено 30. 10. 2012. 
  15. ^ Бруно, Леонард C. (2003) [1999]. Матх анд матхематицианс : тхе хисторy оф матх дисцовериес ароунд тхе wорлд. Бакер, Лаwренце W. Детроит, Мицх.: У X L. стр. 178–9. ИСБН 978-0-7876-3813-9. ОЦЛЦ 41497065. 
  16. ^ Бруно, Леонард C. (2003) [1999]. Матх анд матхематицианс : тхе хисторy оф матх дисцовериес ароунд тхе wорлд. Бакер, Лаwренце W. Детроит, Мицх.: У X L. стр. 179. ИСБН 978-0-7876-3813-9. ОЦЛЦ 41497065. 
  17. ^ а б Елстродт, Јüрген (2007). „Тхе Лифе анд Wорк оф Густав Лејеуне Дирицхлет (1805–1859)” (ПДФ). Цлаy Матхематицс Процеедингс. Архивирано из оригинала (ПДФ) 22. 05. 2021. г. Приступљено 25. 12. 2007. 
  18. ^ Канемитсу, Схигеру; Јиа, Цхаохуа (2002). Нумбер тхеоретиц метходс: футуре трендс. Спрингер. стр. 271–274. ИСБН 978-1-4020-1080-4. 
  19. ^ Гуy, Рицхард К. (2004). Унсолвед Проблемс ин Нумбер Тхеорy (3рд изд.). Берлин: Спрингер. ИСБН 978-0-387-20860-2. 
  20. ^ Ивиц, Александар (2003). Тхе Риеманн Зета-Фунцтион. Неw Yорк: Довер Публицатионс. ИСБН 0-486-42813-3. 
  21. ^ Монтгомерy, Хугх; Р. C. Ваугхан (2007). Мултиплицативе Нумбер Тхеорy I: Цлассицал Тхеорy. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-84903-6. 
  22. ^ Иwаниец, Х.; C. Ј. Моззоцхи (1988). „Он тхе дивисор анд цирцле проблемс”. Јоурнал оф Нумбер Тхеорy. 29: 60—93. дои:10.1016/0022-314X(88)90093-5. 
  23. ^ Хуxлеy, M. Н. (2003). „Еxпонентиал сумс анд латтице поинтс ИИИ”. Проц. Лондон Матх. Соц. 87 (3): 591—609. ИССН 0024-6115. С2ЦИД 119976855. Збл 1065.11079. дои:10.1112/С0024611503014485. 
  24. ^ Реид, Цонстанце, 1996. Хилберт, Спрингер. ISBN 0-387-94674-8.
  25. ^ This work established Takagi as Japan's first mathematician of international stature.

Literatura[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

Алгебарска теорија бројева на Викимедијиној остави.
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebarska_teorija_brojeva&oldid=27676445”