Diofantske jednačine

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Diofantska jednačina je algebarska jednačina s dve ili više nepoznatih s celobrojnim koeficijentima u kojoj se traže celobrojna ili racionalna rešenja. Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine.[1]

Linearne diofantske jednačine[уреди]

Diofantska linearna jednačina je jednačina oblika:

gdje su a, b i c neki celi brojevi.

Primer
Kako je x ceo broj to je y deljivo sa 3
odnosno
Teorema

Diofantska jednačina , gde su ,, celi brojevi ima celobrojna rešenja ako i samo ako deli .

Ako su i rešenja te jednačine onda su sva rešenja oblika

Rešenje naziva se partikularno rešenje diofantske jednačine. Opšte rešenje je zbir partikularnog rešenja i rešenja homogene jednačine

Primer

Partikularno rešenje je , a rešenja pripadne homogene jednačine su ,

Rešenja jednačine su parovi za Za pronalaženje partikularnog rešenja diofantske jednačine korististi se Euklidov algoritam pomoću kojeg određuju celi brojevi i za koje vredi , gde je , a zatim množenjem sa dobija se partikularno rešenje.

Primer

pa je

1

U poslednju jednakost se uvrsti izraz za broj 5 iz pretposlednje jednakosti

tj.

Rešenje date jednadnačine je

Primer

Za prevoz neke robe raspolaže se vrećama od 40 kg i 60 kg. Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se preveze 500 kg robe

Zadatak se može rešiti Ojlerovom metodom

za i

Rešenja jednadčine su parovi ) gde je i

Traženi parovi ) su i

Nelinearne diofantske jednačine[уреди]

Ne postoji univerzalna metoda rešavanja ovih jednačina, ali zato postoji niz metoda kojima se rešavaju neki specijalni tipovi nelinearnih diofantskih jednačina. Neki od tih metoda su:

  1. metod faktorizacije
  2. metod razlomka
  3. metod poslednje cifre
  4. metod kongruencije
  5. metod zbira potencija s parnim eksponentima
  6. metod nejednakosti

Metod faktorizacije[уреди]

Metod faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku proizvoda celobrojnih vrednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatraju se mogući slučajevi.

(

Ovo je moguće za

x-3 y+1
1 3
-1 -3
3 1
-3 -1
odnosno
x y
4 2
2 -4
6 0
0 -2

Metod razlomka[уреди]

Osnovna ideja ovog metoda slična je kao kod metode faktorizacije, samo što se sada jedna stranu jednačine zapisuje u obliku razlomka dve celobrojne vrednosti, dok druga strane jednačine ima takođe celobrojnu vrednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora deliti brojnik, što daje klasifikaciju mogućih slučajeva. Spomenuti razlomak se u praksi najčešće dobija tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.

Metod poslednje cifre[уреди]

Metod poslednje cifre je podmetod metoda ostataka koji koristi ispitivanje ostataka pri deljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih delova jednačine, te njihovim usklađivanjem.

Kvadrat celog broja završava cifrom 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a broj sa 0 ili 5, pa zbir na levoj strani završava sa 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rešenja.

Metod kongruencije[уреди]

neparan, a paran, pa je neparan

Jednačina nema rešenja, jer 1994 nije deljivo sa 4

Metod zbira potencija s parnim eksponentima[уреди]

Metod zbira je sličan metodu faktorizacije, samo što se sada jedna strana jednačine zapisuje u obliku zbira (najčešće nenegativnih) celih brojeva.

Metod nejednakosti[уреди]

Ovaj metod se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rešenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi. Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi. Metod nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekim drugom metodom za rešavanje nelinearnih diofantskih jednačina

za

za

Jednačina ima samo jedno rešenje

Pelove i pelovske jednačine[уреди]

Neka je zadata jednačina

Uređena trojka (x,y,z) koja zadovoljava zadatu jednačinu se naziva Pitagorina trojka. Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva , neparan. Za , parne se ne bi radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci

Diofantska jednačina oblika

gde je i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.

Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rešenja u skupu prirodnih brojeva. Ako se pronađe najmanje (osnovno) rešenje , preostala rešenja se mogu generisati na sledeće načine

  1.  :
  2.  : i za i
  3.  : i

Jednačina

je Pelovska jednačina (jednačina Pelovog oblika)

Za razliku od Pelove jednačine ova jednačina nema uvek celobrojno rešenje.[2]

Erdos–Štrausova hipoteza[уреди]

Ovom hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve postoji racionalni broj koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, celobrojnim nazivnicima kako sledi:

Primer
za , postoji rešenje jednačine gde je , i .

Pomnože li se obe strane jednačine sa , nalazi se Diofantska jednačina oblika:

[3]

Reference[уреди]

  1. ^ Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics. 30. Academic Press. ISBN 978-0-12-506250-3. Zbl 0188.34503. 
  2. ^ „Diofantske jednadžbe / Pelove i pelovske jednadžbe” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) на датум 08. 04. 2016. Приступљено 28. 12. 2018. 
  3. ^ 4-parametrowa seria rozwiązań równania Erdősa-Strausa

Literatura[уреди]

Spoljašnje veze[уреди]