Водонично подробни атом

Водонично подробни атом (јон сличан водонику) је свако атомско језгро које има један електрон и стога је изоелектронско са водоником. Ови јони носе позитивни набој $e(Z-1)$, где је $Z$ атомски број атома. Примери водонично подробних јона су He⁺, Li²⁺, Be³⁺ и B⁴⁺. Будући да су ови јони системи са две честице чија интеракција зависи само од растојања између тих честице, њихова (нерелативистичка) Шредингерова једначина може се решити у аналитичкој форми, као и (релативистичка) Диракова једначина. Решења су једноелектронске функције и називају се водонично подробним атомским орбиталама.

Други системи се такође могу називати „водонично подробним атомима”, као што су муонијум (електрон који кружи око антимиона), позитронијум (електрон и позитрон), одређени егзотични атоми (формирани са другим честицама), или Ридбергови атоми (код којих је један електрон у тако високом енергетском стању да види остатак атома практично као тачкасти набој).

Шредингерово решење

У решењу Шредингерове једначине, која је нерелативистичка, атомске орбитале сличне водонику су својствене функције једноелектронског оператора угаоног момента L и његове z компоненте L_z. Водонично подробна атомска орбитала јединствено је идентификована вредностима главног квантног броја n, квантног броја угаоног момента l и магнетног квантног броја m. Енергетске својствене вредности не зависе од l или m, већ искључиво од n. Томе треба додати и двовредносни спински квантни број m_s = ± ½, чиме се поставља сцена за Ауфбау принцип. Овај принцип ограничава дозвољене вредности четири квантна броја у електронским конфигурацијама вишеелектронских атома. У атомима сличним водонику све дегенерисане орбитале фиксних n и l, m и s варирају између одређених вредности (погледајте доле) формирајући атомску љуску.

Шредингеров једначина атома или атомски јона са више од једног електрона није решена аналитичим путем, због рачунарске потешкоће коју намеће Кулонска интеракција између електрона. Нумеричке методе се морају применинти да би се добиле (приближне) таласне функције или друга својства из квантно-механичких прорачуна. Због сферне симетрије (Хамилтониана), укупни угаони момент J атома је конзервирана количина. Многи нумерички поступци почињу од производа атомских орбитала које су својствене функције једноелектронских оператора L и L_z. Радијални делови ових атомских орбитала су понекад нумеричке табеле или су понекад Слејтерове орбитале. Помоћу упаривање угаоних момената конструишу се многоелектронске својствене функције J² (и евентуално S²).

У квантно-хемијским прорачунима атомске орбитале попут водоника не могу послужити као основа експанзије, јер нису потпуне. Неквадратно интеграбилна стања континуума (Е > 0) морају бити укључена да би се добио комплетан скуп, и.е., да се обухвати целокупан једноелектронски Хилбертов простор.

У најједноставнијем моделу, атомске орбитале водонично подробних јона су решења Шредингерове једначине у сферно симетричном потенцијалу. У овом случају, члан потенцијала је потенцијал који даје Кулонов закон:

$V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$

где је

• ε₀ - пермитивност вакуума,
• Z - атомски број (број протона у језгру),
• e - elementarno naelektrisanje (naboj elektrona),
• r - растојање електрона од нуклеуса.

Након писања таласне функције као производ функција:

$\psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$

(у сферним координатама), где су $Y_{lm}$ сферни хармоници, долази се до следеће Шредингерове једначине:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+V(r)R(r)=ER(r),$

где је $\mu$ приближно, маса електрона (прецизније, то је редукована маса система који се састоји од електрона и језгра), и $\hbar$ је редукована Планкова константа.

Различите вредности од l дају решења са различитим угаоним моментом, где је l (ненегативни целобројни) квантни број орбиталног угаоног момента. Магнетни квантни број m (за који важи $-l\leq m\leq l$) је (квантификована) пројекција орбиталног броја на z-осу. Погледајте овде за кораке који воде решењу ове јеначине.

Нерелативистичка таласна функција и енергија

Решења Шредингерових 3Д сферно хармонијских орбитала у графиконима 2Д густине, са изворним кодом програма Матхематица на врху

Све $\psi _{nlm}$ својствене функције до n=4. Чврсте орбитале окружују запремину изнад одређеног прага густине вероватноће. Боје приказују комплексну фазу.

Поред l и m, из граничних услова постављених на R појављује се трећи цео број n > 0. Функције R и Y које решавају горње једначине зависе од вредности ових целих бројева, званих квантни бројеви. Уобичајено је да се таласне функције индексирају са вредностима квантних бројева од којих оне зависе. Коначни израз за нормализовану таласну функцију је:

$\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )$

$R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)$

при чему:

• $L_{n-l-1}^{2l+1}$ су генерализовани Лагерови полиноми са дефиницијом датом овде.
• $a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}={\frac {\hbar c}{\alpha \mu c^{2}}}={{m_{\mathrm {e} }} \over {\mu }}a_{0}$

где је α константа фине структуре. Овде је $\mu$ редукована маса система језгро-електрон, која је, $\mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}}$ где је $m_{\mathrm {N} }$ маса језгра. Типично, језгро је знатно масивније од електрона, тако да је $\mu \approx m_{\mathrm {e} }.$ (Међутим за позитронијум $\mu =m_{\mathrm {e} }/2.$)

• $E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\mu }^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.$
• $Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ функција је сферично хармонична.

Паритет услед угаоне таласне функције је ${\left({-1}\right)}^{l}$.

Види још

• Ридбергов атом
• Позитронијум
• Егзотични атом
• Двоелектронски атом
• Водонични молекуларни јон

Литература

• Гералд Тесцхл (2009). Матхематицал Метходс ин Qуантум Мецханицс; Wитх Апплицатионс то Сцхрöдингер Операторс. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-4660-5. 
• Типлер, Паул & Ралпх Ллеwеллyн (2003). Модерн Пхyсицс (4тх ед.). Неw Yорк: W. Х. Фрееман анд Цомпанy. ISBN 0-7167-4345-0
• Раyнер-Цанхам, Геофф; Овертон, Тина (2014). Десцриптиве Инорганиц Цхемистрy (6 изд.). Мацмиллан Едуцатион. ИСБН 978-1-319-15411-0. 
• Wеисстеин, Ериц W. (2007). „Елецтрон Орбитал”. wолфрам. 
• Еббинг, Даррелл D.; Гаммон, Стевен D. (2007-01-12). Генерал Цхемистрy. ИСБН 978-0-618-73879-3. 
• Лангмуир, Ирвинг (1919). „Тхе Аррангемент оф Елецтронс ин Атомс анд Молецулес”. Јоурнал оф тхе Америцан Цхемицал Социетy. 41 (6): 868—934. дои:10.1021/ја02227а002. 
• Стонер, Е.C. (1924). „Тхе дистрибутион оф елецтронс амонг атомиц левелс”. Пхилосопхицал Магазине. 6тх Сериес. 48 (286). дои:10.1080/14786442408634535. 
• Паули, Wолфганг (1925). „Üбер ден Еинфлусс дер Гесцхwиндигкеитсабхäндигкеит дер електронмассе ауф ден Зееманеффект”. Зеитсцхрифт фüр Пхyсик. 31 (1). Бибцоде:1925ЗПхy...31..373П. С2ЦИД 122477612. дои:10.1007/БФ02980592. 
• Сцерри, Ериц Р. (1991). „Тхе Елецтрон Цонфигуратион Модел, Qуантум Мецханицс анд Редуцтион” (ПДФ). Тхе Бритисх Јоурнал фор тхе Пхилосопхy оф Сциенце. 42 (3). дои:10.1093/бјпс/42.3.309. 
• Дирац, Паул А.M. (1982) [1958]. Принциплес оф Qуантум Мецханицс. Интернатионал Сериес оф Монограпхс он Пхyсицс (4тх изд.). Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-852011-5. 
• Андерсон, Царл (1933). „Тхе Поситиве Елецтрон”. Пхyсицал Ревиеw. 43 (6): 491. Бибцоде:1933ПхРв...43..491А. дои:10.1103/ПхyсРев.43.491 . 
• Армињон, M.; Ф. Реифлер (2013). „Еqуивалент формс оф Дирац еqуатионс ин цурвед спацетимес анд генерализед де Броглие релатионс”. Бразилиан Јоурнал оф Пхyсицс. 43 (1–2): 64—77. Бибцоде:2013БрЈПх..43...64А. С2ЦИД 38235437. арXив:1103.3201 . дои:10.1007/с13538-012-0111-0. 
• Дирац, П. А. M. (1928). „Тхе Qуантум Тхеорy оф тхе Елецтрон” (ПДФ). Процеедингс оф тхе Роyал Социетy А: Матхематицал, Пхyсицал анд Енгинееринг Сциенцес. 117 (778): 610—624. Бибцоде:1928РСПСА.117..610Д. ЈСТОР 94981. дои:10.1098/рспа.1928.0023 . Архивирано (ПДФ) из оригинала 2015-01-02. г. 
• Дирац, П. А. M. (1930). „А Тхеорy оф Елецтронс анд Протонс”. Процеедингс оф тхе Роyал Социетy А: Матхематицал, Пхyсицал анд Енгинееринг Сциенцес. 126 (801): 360—365. Бибцоде:1930РСПСА.126..360Д. ЈСТОР 95359. дои:10.1098/рспа.1930.0013 . 
• Фрисцх, Р.; Стерн, О. (1933). „Üбер дие магнетисцхе Абленкунг вон Wассерстоффмолекüлен унд дас магнетисцхе Момент дес Протонс. И”. Зеитсцхрифт фüр Пхyсик. 85 (1–2): 4. Бибцоде:1933ЗПхy...85....4Ф. С2ЦИД 120793548. дои:10.1007/БФ01330773. 
• Бјоркен, Ј D; Дрелл, С (1964). Релативистиц Qуантум мецханицс. Неw Yорк, МцГраw-Хилл. 
• Халзен, Францис; Мартин, Алан (1984). Qуаркс & Лептонс: Ан Интродуцторy Цоурсе ин Модерн Партицле Пхyсицс. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 9780471887416. 
• Гриффитхс, D.Ј. (2008). Интродуцтион то Елементарy Партицлес (2нд изд.). Wилеy-ВЦХ. ИСБН 978-3-527-40601-2. 
• Рае, Аластаир I. M.; Јим Наполитано (2015). Qуантум Мецханицс (6тх изд.). Роутледге. ИСБН 978-1482299182. 
• Сцхифф, L.I. (1968). Qуантум Мецханицс (3рд изд.). МцГраw-Хилл. 
• Сханкар, Р. (1994). Принциплес оф Qуантум Мецханицс (2нд изд.). Пленум. 
• Тхаллер, Б. (1992). Тхе Дирац Еqуатион. Теxтс анд Монограпхс ин Пхyсицс. Спрингер. 
• W.Х. Коппенол (ИУПАЦ) (2001). „Намес фор муониум анд хyдроген атомс анд тхеир ионс” (ПДФ). Пуре анд Апплиед Цхемистрy. 73 (2): 377—380. дои:10.1351/пац200173020377. 
• Wалкер, Давид C (1983-09-08). Муон анд Муониум Цхемистрy. стр. 4. ИСБН 978-0-521-24241-7. 

Спољашње везе

• Медији везани за чланак Водонично подробни атом на Викимедијиној остави