Granična vrednost

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Granična vrednost je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Pomoću pojma granične vrednosti definišu se neprekidnost, matematički izvodi i integrali. Razlikuju se granična vrednost niza i granična vrednost funkcije.

Granična vrednost opisuje broj kome teži vrednost funkcije ili vrednost člana matematičkog niza, kada se argument funkcije ili indeks niza približe nekoj vrednosti.

U matematičkim formulama granična vrednost se obično označava sa lim, kao na primer lim(an) = a, ili strelicom (→), kao na primer ana.

Matematičari su intuitivno poznavali koncept granične vrednosti već u drugoj polovini XVII veka, što se vidi u radovima Isaka Njutna. To je slučaj i sa radovima Ojlera i Lagranža iz XVIII veka. Prvu strogo naučnu definiciju granične vrednosti dali su Bolcano 1816. i Koši 1821. godine.

Granična vrednost niza[uredi]

Granična vrednost niza brojeva je vrednost kojoj se približavaju vrednosti članova niza kada se njihov indeks povećava.

To se može iskazati i formalnije. Ako je x niz koji ima graničnu vrednost L:

Za svaki realni broj ε > 0, postoji prirodni broj n0 takav da za svako n > n0, |xn − L| < ε.

Nizovi koji imaju graničnu vrednost nazivaju se konvergentni nizovi. Oni koji je nemaju nazivaju se divergentni nizovi. Ako nizovi nisu ni konvergentni ni određeno divergentni nazivaju se neodređeno divergentni nizovi.

Granična vrednost funkcije[uredi]

Grafik funkcije pokazuje da kada argument teži ka beskonačnosti, vrednost funkcije teži vrednosti .

Funkcija ima graničnu vrednost u tački , ako je za sve vrednosti , dovoljno bliske tački , vrednost dovoljno bliska vrednosti .

Danas se najčešće koristi definicija granične vrednosti funkcije koju je Karl Vajerštras formalizovao u 19. veku. Ona glasi:

Neka je ƒ funkcija definisana na otvorenom intervalu koji sadrži vrednost c (osim možda u samoj tački c) i neka je L realan broj. Onda formula

znači da za svako realno ε > 0 postoji realna vrednost δ > 0 takva da je za svako x koje ispunjava uslov 0 < |x − c| < δ, imamo da je |ƒ(x) − L| < ε,

To se u matematičkoj notaciji zapisuje kao: