Komutativnost

Pojam komutativnosti se najčešće vezuje za binarne matematičke operacije kod kojih redosled operanada ne utiče na rezultat operacije. To je osnovno svojstvo mnogih binarnih operacija i od njega zavise mnogi matematički dokazi. Najpoznatije kao ime svojstva koje na primer navodi da je „3 + 4 = 4 + 3” ili „2 × 5 = 5 × 2”. Ovo svojstvo se takođe može koristiti u naprednijim podešavanjima. Ime je potrebno jer postoje operacije, kao što su deljenje i oduzimanje, koje ga nemaju (na primer, „3 − 5 ≠ 5 − 3“); takve operacije nisu komutativne, te se nazivaju nekomutativnim operacijama. Ideja da su jednostavne operacije, kao što su množenje i sabiranje brojeva, komutativne je mnogo godina implicitno pretpostavljana. Stoga ovo svojstvo nije dobilo ime sve do 19. veka, kada je matematika počela da se formalizuje. Odgovarajuće svojstvo postoji za binarne relacije; za binarnu relaciju se kaže da je simetrična ako se relacija primenjuje bez obzira na redosled njenih operanada; na primer, jednakost je simetrična pošto su dva jednaka matematička objekta jednaka bez obzira na njihov redosled.

Matematičke definicije

Binarna operacija $*$ na skupu S je komutativna ako je

$$x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.$$

Operacija koja ne zadovoljava gornju osobinu naziva se nekomutativnom.

Može se reći da je x komutativno sa y ili da su x i y komutativni u pogledu $*$ ako je

$$x*y=y*x.$$

Drugim rečima, operacija je komutativna ako se svaki par elemenata komutativan.

Binarna funkcija $f\colon A\times A\to B$ se ponekad naziva komutativnom ako je

$$f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{ за свако }}x,y\in A.$$

Takva funkcija se češće naziva simetričnom funkcijom.

Primer

Operacija komutativnosti.

Recimo da je definisana binarna operacija $\otimes :M^{2}\rightarrow X$ tako da za $\forall a,b\in M$ važi:

$a\otimes b=b\otimes a$

Onda je ova operacija prema definiciji komutativna.

Uopštenje

Ovde se može napraviti i uopštenje za $M^{n}\,$, $n\in N\land n\geq 2$. Operacija $\otimes :M^{n}\rightarrow X$ je komutativna ako za svaku $(a_{1},...,a_{n})\in M^{n}$ i svaku njenu permutaciju $(a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,$ važi:

$(a_{1},...,a_{n})=(a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,$ tj.

$a_{1}\otimes a_{2}\otimes \dots \otimes a_{n}=a_{\sigma (1)}\otimes a_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes a_{\sigma (n)}$

Istorija i etimologija

Prva poznata upotreba termina bila je u francuskom časopisu objavljenom 1814. godine

Zapisi o implicitnoj upotrebi komutativnog svojstva sežu u davna vremena. Egipćani su koristili komutativno svojstvo množenja da bi pojednostavili računarske proizvode. Poznato je da je Euklid preuzeo komutativno svojstvo množenja u svojoj knjizi Elementi. Formalna upotreba komutativnog svojstva nastala je krajem 18. i početkom 19. veka, kada su matematičari počeli da rade na teoriji funkcija. Danas je komutativno svojstvo dobro poznato i osnovno svojstvo koje se koristi u većini grana matematike.

Prva zabeležena upotreba termina komutativno bila je u memoarima Fransoa Servoa iz 1814. godine, koji je koristio reč komutativni kada je opisivao funkcije koje imaju ono što se danas zove komutativno svojstvo. Reč je kombinacija francuske reči commuter što znači „zameniti ili promeniti” i sufiksa -ative što znači „težnja ka”, tako da reč doslovno znači „težnja da se zameni ili promeni”. Termin se tada pojavio na engleskom 1838. godine u članku Dankana Farkuharsona Gregorija pod naslovom „O stvarnoj prirodi simboličke algebre“ objavljenom 1840. godine u časopisu Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Propoziciona logika

Pravilo zamene

U istinitosno-funkcionalnoj propozicionoj logici, komutacija ili komutativnost se odnosi na dva važeća pravila zamene. Pravila dozvoljavaju transponovanje propozicionih promenljivih unutar logičkih izraza u logičkim dokazima. Pravila su:

$(P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)$

i

$(P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)$

gde je „$\Leftrightarrow$” metalogički simbol koji predstavlja „može se zameniti u dokazu sa”.

Istinosno funkcionalni spojevi

Komutativnost je svojstvo nekih logičkih spojeva istinito funkcionalne propozicione logike. Sledeće logičke ekvivalencije pokazuju da je komutativnost svojstvo određenih veza. Slede istinitosno-funkcionalne tautologije.

Komutativnost konjunkcije

$(P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)$

Komutativnost disjunkcije

$(P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)$

Komutativnost implikacije (naziva se i zakon permutacije)

$(P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))$

Komutativnost ekvivalencije (naziva se i potpuni komutativni zakon ekvivalencije)

$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)$

Teorija skupova

U teoriji grupa i skupova, mnoge algebarske strukture se nazivaju komutativnim kada određeni operandi zadovolje komutativno svojstvo. U višim granama matematike, kao što su analiza i linearna algebra, komutativnost dobro poznatih operacija (kao što su sabiranje i množenje na realnim i kompleksnim brojevima) se često koristi (ili implicitno pretpostavlja) u dokazima.

Matematičke strukture i komutativnost

• Komutativna polugrupa je skup koji ima totalnu, asocijativnu i komutativnu operaciju.
• Ako operacija dodatno ima element identiteta, postoji komutativni monoid.
• Abelova grupa, ili komutativna grupa je grupa čija je grupna operacija komutativna.
• Komutativni prsten je prsten čije je množenje komutativno. (Sabiranje u prstenu je uvek komutativno.)
• U polju su i sabiranje i množenje komutativni.

Vidi još

• Asocijativnost
• Antikomutativnost
• Distributivnost

Literatura

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th izd.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e izd.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th izd.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1. 
• Lumpkin, B. (1997). „The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter” (PDF) (Unpublished manuscript). Arhivirano iz originala (PDF) 13. 7. 2007. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Commutativity”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.
• Weisstein, Eric W. „Commute”. MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
• „Yark”.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „History of real numbers”. MacTutor. Pristupljeno 8. 8. 2007. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. „Earliest Known Uses Of Mathematical Terms”. Pristupljeno 22. 11. 2008. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „biography of François Servois”. MacTutor. Arhivirano iz originala 02. 09. 2009. g. Pristupljeno 8. 8. 2007. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
• Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. 
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd izd.), Boston: Allyn and Bacon 
• Attila Nagy (2001). Special Classes of Semigroups. Springer. ISBN 978-0-7923-6890-8
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs. New Series, 12, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9, Zbl 0835.20077 
• Jacobson, Nathan (1951), Lectures in Abstract Algebra, I, D. Van Nostrand Company, ISBN 0-387-90122-1 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd izd.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7, Zbl 0945.20036 
• Lothaire, M. (1997), Lothaire, M, ur., Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59924-5, MR 1475463, Zbl 0874.20040, doi:10.1017/CBO9780511566097 

Spoljašnje veze

• Chapter 2 / Propositional Logic from Logic In Action
• Propositional sequent calculus prover on Project Nayuki. (note: implication can be input in the form !X|Y, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)
• Propositional Logic - A Generative Grammar
• Weisstein, Eric W. „Binary Operation”. MathWorld.