Matrica (matematika)

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili opštije, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste da opišu linearne jednačine, da se prate koeficijenti linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji zavise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti, i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Osnovni elementi matrice

Definicije i notacije[uredi]

Horizontalne linije u matrici se nazivaju vrstama, a vertikalne kolonama matrice. Matrica sa m vrsta i n kolona se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A, koji se nalazi u i-toj vrsti i u j-toj koloni se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvek se prvo naznačuje vrsta, pa kolona.

Često se piše kako bi se definisala m × n matrica A čiji se svaki član, A[i,j] naziva ai,j za sve 1 ≤ im i 1 ≤ jn. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ im − 1 i 0 ≤ jn − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedna vrsta i n kolona) se naziva vektor vrsta, a m × 1 matrica (jedna kolona i m vrsta) se naziva vektor kolona.

Primer[uredi]

Matrica

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica

je 1×9 matrica, ili vektor vrsta sa 9 elemenata.

Sabiranje i množenje matrica[uredi]

Sabiranje[uredi]

Ako su date matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t. j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primer:

Množenje skalarom[uredi]

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni proizvod cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t. j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primer:

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Međusobno množenje matrica[uredi]

Množenje dve matrice je dobro definisano samo ako je broj kolona leve matrice jednak broju vrsta desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m vrsta, p kolona) dat formulom:

za svaki par i i j.

Na primer:

Množenje matrica ima sledeća svojstva:

  • (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
  • (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
  • C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (leva distributivnost).

Valja znati da komutativnost ne važi u opštem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba proizvoda definisana, u opštem slučaju je ABBA.

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n jeste realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Linearne transformacije, rang, transponovana matrica[uredi]

Matrice mogu na zgodan način da predstave linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovde i u nastavku, posmatramo Rn kao skup kolona ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : RnRm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : RmRk, tada je njihova kompozicija g o f takođe linearno preslikavanje RmRn, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo sledi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Opštije, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generisanog vrstama A, i takođe je iste dimenzije kao prostor generisan kolonama A.

Transponovana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem vrsta u kolone, i kolona u vrste, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svako i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dve baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (vidi dualni prostor).

Važi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.

Vidi još[uredi]

Osobine matrica[uredi]

Posebne matrice[uredi]

Literatura[uredi]

  • Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

Spoljašnje veze[uredi]