Trag (linearna algebra)

U linearnoj algebri, trag kvadratne matrice A, označen sa tr(A), je definisan kao zbir elemenata na glavnoj dijagonali (od gornjeg levog do donjeg desnog člana) matrice A .

Trag matrice je zbir njenih (kompleksnih) sopstvenih vrednosti (brojanih sa duplikatima), i invarijantan je u odnosu na promenu baze . Ova karakterizacija se može koristiti za definisanje traga linearnog operatora uopšte. Trag je definisan isključivo za kvadratne matrice ( n × n ).

Trag matrice je povezan sa izvodom determinante matrice(vidi Jakobijevu formulu ).

Definicija

Trag kvadratne matrice A veličine n × n je definisan kao

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

gde a_ii označava unos u i-tom redu i i-toj koloni A

Primer

Neka je A kvadratna matrica, sa sledećim članovima

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$

Onda je trag:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$

Svojstva

Osnovna svojstva

Trag je zapravo linearno preslikavanje . To označava sledeće:

${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}$

i važi za sve kvadratne matrice A i B, i sve skalare c .

Matrica i njena transponovana matrica imaju isti trag jer se dijagonala ne menja u slučaju tansponovanja:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).$

Ovo odmah usleđuje iz činjenice da transponovanje kvadratne matrice ne utiče na elemente duž glavne dijagonale.

Trag proizvoda

Trag kvadratne matrice koji je proizvod dve matrice može se prepisati kao zbir ulaznih proizvoda njihovih elemenata. Tačnije, ako su A i B dva m × n matrica, onda je:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}a_{ji}b_{ji}.$

Ovo znači da trag proizvoda matrica jednakih veličina funkcioniše na sličan način kao i skalarni proizvod vektora (zamislite A i B kao dugačke vektore sa kolonama naslaganim jedna na drugu). Iz tog razloga, generalizacije vektorskih operacija na matrice (npr. u matričnom računu i statistici ) često uključuju tragove matričnih proizvoda.

Za matrice realnih brojeva A i B, trag proizvoda se takođe može napisati u sledećim oblicima:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\sum _{i,j}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )_{ij}$	(koristećii Hadamardov proizvod)
$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {B} )$	(koristeći operator vektorisanja)

Matrice u proizvodu tragova mogu se menjati bez uticaja na rezultat: Ako je A matrica m × n i B n × m, onda je

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

Dodatno, za realne kolone matrice $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ i $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$, trag spoljašnjeg proizvoda je ekvivalentan unutrašnjem proizvodu:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

Ciklična svojstva

U opštijem slučaju, trag je invarijantan prema cikličnim permutacijama, tj.

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).$

Ovo je takođe poznato kao ciklično svojstvo .

Proizvoljne permutacije nisu dozvoljene: generalno govoreći,

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).$

Međutim, ako se posmatraju proizvodi tri simetričnih matrica, svaka permutacija je dozvoljena, jer:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),$

gde je prva jednakost zato što su tragovi matrice i njena transponovana matrica jadnake. Mora se znati da to uopšte nije tačno za više od tri faktora.

Trag matričnog proizvoda

Za razliku od determinanti, trag proizvoda nije proizvod tragova, tj. postoje matrice A i B takve da

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} )$

Na primer, ako je:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ \ \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$

onda je proizvod sledeći

$\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$

a tragovi su sldeći:$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=1\neq 0\cdot 0=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$

Trag Kroneckerovog proizvoda

Trag Kronekerovog proizvoda dve matrice je proizvod njihovih tragova što znači:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$

Karakterizacija traga

Obratimo pažnju na sledeća tri svojstva:$${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}$$karakterišemo trag do skalarnog množioca u smislu koji sledi: Ako $f$ je linearni funkcional na prostoru kvadratnih matrica koji zadovoljava $f(xy)=f(yx),$ onda $f$ i $\operatorname {tr}$ su proporcionalne.

Invarijantnost sličnosti

Trag je invarijantan sličnostima, što znači da za bilo koju kvadratnu matricu A i bilo koju inverzibilnu matricu P istih dimenzija, matrice A i P⁻¹AP imaju isti trag. To je zato što

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \left(\mathbf {P} \mathbf {P} ^{-1}\right)\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$

Trag proizvoda simetrične i koso-simetrične matrice

Ako je A simetrično, a B koso-simetrično, onda važi:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=0$ .

Odnos prema sopstvenim vrednostima

Trag matrice identiteta

Trag matrice identiteta veličine n × n je zapravo dimenzija prostora, odnosno n .

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n$

Ovo dovodi do pojma generalizacije dimenzija korišćenjem traga .

Trag idempotentne matrice

Trag idempotentne matrice A (matrice za koju važi da je A² = A ) jednak je rangu matrice A .

Trag nilpotentne matrice

Trag nilpotentne matrice je uvek jednak nuli.

Kada je karakteristika osnovnog polja nula, važi i obrnuto, što znači: ako je tr(A^k) = 0 za sve k, onda je A nilpotentno.

Kada je karakteristika n > 0 pozitivna (veća od nule), identitet u n dimenzija je kontraprimer, kao $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$, ali identitet nije nužno i nilpotentan.

Trag je jednak zbiru sopstvenih vrednosti

Uopšteno, ako je:

$f(x)=\prod _{i=1}^{k}\left(x-\lambda _{i}\right)^{d_{i}}$

je karakteristični polinom matrice A, što znači:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{k}d_{i}\lambda _{i}$

to jest, trag kvadratne matrice jednak je zbiru sopstvenih vrednosti prebrojanih sa duplikatima.

Trag komutatora

Kada su i A i B matrice veličine n × n sledi da je tr([A,B]) = 0, jer je tr(AB) = tr(BA) i tr je linearn. Ovo se može osloviti kao „trag je mapa Lijevih algebri gl_n → k od operatora do skalara“, pošto je komutator skalara trivijalan (to je Abelova-Lijeva algebra). Konkretno, koristeći invarijantnost sličnosti, sledi da matrica identiteta nikada nije nalik komutatoru bilo kog para matrica.

U obrnutom slučaju, svaka kvadratna matrica sa nultim tragom je linearna kombinacija komutatora parova matrica. Štaviše, svaka kvadratna matrica sa nultim tragom je unitarno ekvivalentna kvadratnoj matrici sa dijagonalom koja se sastoji od svih nula.

Trag hermitske matrice

Trag ermitske matrice je realan, jer su elementi na dijagonali realni.

Trag permutacione matrice

Trag permutacione matrice označava broj fiksnih tačaka, jer je dijagonalni a_ii jednaka 1 ako je i-ta tačka fiksna i 0 u suprotnom slučaju.

Trag projekcijske matrice

Trag projekcijske matrice predstavlja dimenziju ciljnog prostora.

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}$

Matrica P_X je idempotentna, što dalje znači, trag bilo koje idempotentne matrice jednak je njenom sopstvenom rangu.

Eksponencijalni trag

Izrazi poput tr(exp(A)), gde je A kvadratna matrica, javljaju se jako često u nekim oblastima (npr. multivarijantna statistička teorija), u toj meri da je skraćena notacija postala opšte prihvaćena:

$\operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).$

tre se ponekad naziva eksponencijalnom funkcijom traga; koristi se u nejednakosti Golden-Tompsona.

Trag linearnog operatora

Uopšteno govoreći, s obzirom na neku linearnu mapu f : V → V (gde je V konačno dimenzionalni vektorski prostor ), možemo definisati trag ove mape uzimajući u obzir trag matrične reprezentacije f, odnosno odabirom baze za V i opisujući f kao matričnu relativnu na ovu bazu, uzimajući trag ove kvadratne matrice. Rezultat neće zavisiti od izabrane baze, pošto će različite baze dovesti do sličnih matrica, dozvoljavajući mogućnost od osnove nezavisne definicije za trag linearne mape.

Takva definicija se može dati korišćenjem kanonskog izomorfizma između prostora End(V) linearnih mapa na V i V ⊗ V*, gde je V* binarni prostor od V . Neka je v u V i neka je f u V* . Tada je trag nerazloživog elementa v ⊗ f definisan kao f (v) ; trag opšteg elementa definisan je linearnošću. Koristeći eksplicitnu osnovu za V i odgovarajuću binomnu osnovu za V*, može se pokazati da ovo daje istu definiciju traga kao što je prethodno pokazano iznad.

Trag u ekstenzijama polja

Dozvoliti da $L/K$ bude konačno proširenje polja . Tada je trag a $K$- linearna mapa $L\to K.$ Ako se $L$ posmatra kao vektorski prostor preko $K$ zatim trag elementa $\alpha \in L$ je trag transformacione matrice $K$- linearni endomorfizam $L\ni x\mapsto \alpha \cdot x\in L~.$ Ako je $L/K$ Galoov, onda je trag elementa $\alpha \in L$ zbir njegovih Galoovih konjugata :

$\operatorname {tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )$ .

Kao i norma $\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )$, trag je $\in K.$

Relacije sopstvenih vrednosti

Ako je A linearni operator predstavljen kvadratnom matricom sa realnim ili kompleksnim unosnim činiocima i ako su λ₁, …, λ_n sopstvene vrednosti A (navedene prema njihovim algebarskim višestrukostima ), onda važi

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

Ovo sledi iz činjenice da je A uvek sličan svom Jordanovom obliku, gornjoj trouglastoj matrici koja ima λ₁, …, λ_n na glavnoj dijagonali. Nasuprot tome, determinanta A je proizvod njegovih sopstvenih vrednosti; što označava da je,

$\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.$

U opštem smislu,

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}.$

Izvodi

Trag odgovara izvodu determinante. Ovo je precizirano u Jakobijevoj formuli za izvod determinante .

Kao poseban slučaj, kod identičnosti, izvod determinante zapravo je jednak tragu: tr = det′_I . Iz ovoga (ili iz veze između traga i sopstvenih vrednosti), može se izvesti veza između funkcije traga, eksponencijalne mape između Lijeve algebre i njene Lijeve grupe (ili konkretno, matrične eksponencijalne funkcije) i determinante :

$\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).$

Na primer, razmotrimo familiju linearnih transformacija sa jednim parametrom date rotacijom kroz ugao θ ,

$\mathbf {R} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$

Sve ove transformacije imaju determinantu 1, tako da čuvaju površinu. Izvod ove porodice na θ = 0, rotacija identiteta, je antisimetrična matrica

$A={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

koja jasno ima trag jednak nuli, što ukazuje da ova matrica predstavlja infinitezimalnu transformaciju koja čuva površinu.

Slična karakterizacija traga se primenjuje i na linearna vektorska polja . Uzmimo matricu A, definišimo vektorsko polje F na Rⁿ sa F(x) = Ax. Komponente ovog vektorskog polja su linearne funkcije (date redovima A ). Njena divergencija div F je konstantna funkcija, čija je vrednost jednaka tr(A) .

Po teoremi divergencije, ovo se može tumačiti u terminima brzine: ako F(x) predstavlja brzinu tečnosti na lokaciji x i U je regionu u Rⁿ, neto protok tečnosti iz U je dat sa tr(A) · vol(U), gde je vol(U) zapremina U.

Trag je linearni operator, stoga je povezan (komutuje) sa izvidom:

$\operatorname {d} \operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (\operatorname {d} \mathbf {X} ).$

Primena

Trag kompleksne matrica veličine 2 × 2 se koristi za klasifikaciju Mebijusovih transformacija . Prvo, matrica se normalizuje tako da njena determinanta bude jednaka jedinici. Zatim, ako je kvadrat traga 4, odgovarajuća transformacija je parabolična . Ako je kvadrat u intervalu [0,4), on je eliptičan . Konačno, ako je kvadrat veći od 4, transformacija je loksodromna.

Trag se koristi za definisanje karaktera grupnih reprezentacija . Dva prikaza A, B : G → GL(V) grupe G su jednake (do promene baze na V ) ako je tr(A(g)) = tr(B(g)). važi za sve g ∈ G .

Trag takođe igra glavnu ulogu u distribuciji kvadratnih oblika .

Lijeva Algebra

Trag je mapa Lijevih algebri $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ iz Lijeve algebre ${\mathfrak {gl}}_{n}$ linearnih operatora na n -dimenzionalnom prostoru ( matrica veličine n × n sa unosima u $K$ ) u Lijevoj algebri K skalara; pošto je K Abelov (Lijeva zagrada nestaje), činjenica da je ovo mapa Lijevih algebri je upravo dokaz da trag zagrade nestaje:

$\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ за свако }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.$

Često se kaže da je jezgro ove mape, matrice čiji je trag nula, bez traga a ove matrice formiraju jednostavnu Lijevu algebru ${\mathfrak {sl}}_{n}$, što je Lijeva algebra posebne linearne grupe matrica sa determinantom 1. Posebnu linearnu grupu čine matrice koje ne menjaju zapreminu, dok su specijalne linearne Lijeve algebre matrice koje ne menjaju zapreminu infinitezimalnih skupova.

U stvari, postoji interna direktna dekompozicija zbira ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ operatora/matrica u operatore/matrice bez traga i skalarne operatore/matrice. Mapa projekcije na skalarne operatore može se izraziti u terminima traga, konkretno se može predstaviti kao:

$\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .$

Formalno, može se sastaviti trag sa mapom jedinice $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ "uključivanja skalara " da bi se dobila mapa ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ preslikavanje na skalare i množenje sa n . Deljenjem sa n ovo postaje projekcija, što daje formulu iznad.

U smislu kratkih tačnih sekvenci, važi:

$0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0$

što je analogno

$1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1$

(gde $K^{*}=K\setminus \{0\}$ ) za Lijeve grupe. Ali, trag se prirodno deli dakle ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$, ali cepanje determinante bi bilo kao n ti koren puta skalara, a ovo generalno ne definiše funkciju, tako da se determinanta ne deli i opšta linearna grupa se ne dekomponuje:

$\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.$

Bilinearne forme

Bilinearni oblik (gde su X, Y kvadratne matrice)

$B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}$

se naziva Killingova forma, koja se koristi za klasifikaciju Lijevih algebri.

Trag definiše bilinearni oblik:

$(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).$

Forma je simetrična, nedegenerisana i asocijativna u smislu da je:

$\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).$

Za kompleksnu jednostavnu Lijevu algebru (kao npr ${\mathfrak {sl}}$_n ), svaki takav bilinearni oblik je proporcionalan jedan drugom.

Za dve matrice X i Y se kaže da su ortogonalnog traga ako je

$\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0$ .

Unutrašnji proizvod

Za matricu veličine m × n A sa složenim (ili realnim) unosima koja je H i konjugovana transponovana, imamo

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} \right)\geq 0$

sa jednakošću ako i samo ako je A = 0 .

Jednačina

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle =\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {H}}\mathbf {B} \right)$

nam daje unutrašnji proizvod na prostoru svih kompleksnih (ili realnih) matrica veličine m × n.

Norma izvedena iz gornjeg unutrašnjeg proizvoda naziva se Frobenijusova norma, koja zadovoljava submultiplikativno svojstvo kao matrična norma. Zaista je euklidska norma ako se matrica posmatra kao vektor dužine m ⋅ n .

Sledi da ako su A i B realne pozitivne poludefinisane matrice istih veličina onda je

$0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}.$

Vidi još

• Trag tenzora u odnosu na metrički tenzor
• Karakteristična funkcija
• Trag polja
• Nejednakost Golden–Tompsona
• Jedinstveni trag
• Spechtova teorema
• Trace class
• Trag identiteta
• Prati nejednakosti
• fon Nojmanova nejednakost tragova

Spoljašnje veze

•  Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Trace of a square matrix”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.