Reprezentacija grupa

С Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Reprezentacija grupa „deluje” kao objekat. Najjednostavniji primeri su kako simetrije regularnih poligona, koji se sastoje od reflekcija i rotacija, transformišu poligon.

U matematičkom polju teorije reprezentacije, reprezentacija grupa opisuje apstraktne grupe u smislu bijektivnih linearnih transformacija (i.e. automorfizmi) vektoriskih prostora; specifično, one se mogu koristiti za predstavljanje elementata grupa kao invertabilnih matrica tako da se grupne operacije mogu predstaviti putem množenja matrica. Reprezentacije grupa su važne zato što one omogućavaju da se mnogi grupno-teoretski problemi redukuju do problema linearne algebre, koji su dobro izučeni. Reprezentacije grupa su isto tako važne u fizici zato što, na primer, one opisuju kako grupe simetrije fizičkog sistema utiču na rešenja jednačina koje opisuju taj sistem.[1]

Termin reprezentacija grupa se takođe koristi u generalnijem smislu za označavanje svakog „opisa” grupe kao grupe transformacija nekog matematičkog objekta. Formalnije, „reprezentacija” znači homomorfizam od grupe do automorfizma grupe objekta. Ako je objekat vektorski prostor radi se o linearnoj reprezentaciji. Neki autori koriste termin realizacija kao generalniji pojam i rezervišu termin reprezentacija za specifičnijih slučaj linearne reprezentacije. Ovaj članak prevashodno opisuje teoriju linearne reprezentacije.

Grane teorije reprezentacije grupa[уреди | уреди извор]

Teorija reprezentacije grupa se deli u potpolja u zavisnosti od vrste grupa koje se predstavljaju. Različite teorije se u znatnoj meri razlikuju u pogledu detalja, mada su neke osnovne definicije i koncepti slični. Najvažnije podele su:

  • Konačne grupe - Reprezentacija grupa je vrlo važno sredstvo u proučavanju konačnih grupa. One se takođe pojavljuju u primeni teorije konačnih grupa na kristalografiju i geometriju. Ako polje skalara vektorskog prostora ima karakteristično p, i ako p deli redosled grupe, onda se to naziva teorijom modularne reprezentacije; ovaj poseban slučaj ima veoma različita svojstva. Pogledajte Teoriju reprezentacije konačnih grupa.
  • Kompaktne grupe ili lokalno kompaktne grupe — Mnogi rezultati teorije zastupljenosti konačnih grupa su dokazani uzimanjem proseka po grupama. Ovi dokazi se mogu preneti u beskonačne grupe zamenom proseka sa integralom, pod uslovom da se može definisati prihvatljiv pojam integrala. To se može uraditi za lokalno kompaktne grupe, koristeći Harovu meru. Rezultirajuća teorija predstavlja centralni deo harmonijske analize. Dualnost po Pontrjaginu opisuje teoriju za komutativne grupe, kao generalizovanu Furijeovu transformaciju. Takođe pogledajte: Piter-Vejlovu teoremu.
  • Lijeve grupe — Mnoge važne Lijeve grupe su kompaktne, te se rezultati teorije kompaktne reprezentacije odnose na njih. Koriste se i druge tehnike specifične za Lijeve grupe. Većina grupa koje su važne za fiziku i hemiju su Lijeve grupe, i njihova teorija reprezentacije je presudna za primenu teorije grupa u tim oblastima. Pogledajte reprezentacije Lijevih grupa i reprezentacije Lijevih algebri.
  • Linearne algebarske grupe (ili generalnije afine šeme grupa) — Ovo su analozi Lijevih grupa, ali na opštijim poljima, a ne samo R ili C. Iako linearne algebarske grupe imaju klasifikaciju koja je veoma slična onoj kod Lijevih grupa, i proizvode iste familjije Lijeve algebre, njihove reprezentacije su znatno različite (i daleko manjoj meri izučene). Analitičke tehnike koje se koriste za proučavanje Lijevih grupa moraju biti zamenjene tehnikama iz algebarske geometrije, gde relativno slaba Zariskova topologija izaziva mnoge tehničke komplikacije.
  • Nekompaktne topološke grupe — Klasa nekompaktnih grupa je suviše široka da bi se konstruisala bilo kakva opšta teorija reprezentacije, ali su proučavani specijalni slučajevi, ponekad koristeći ad hoc tehnike. Polujednostavne Lijeve grupe imaju duboku teoriju, koja se nadograđuje na kompaktni slučaj. Komplementarne rastvorljive Lijeve grupe se ne mogu klasifikovati na isti način. Opšta teorija za Lijeve grupe bavi se semiusmerenim proizvodima ova dva tipa, pomoću opštih rezultata zvanih Makijeva teorija, što je uopštavanje Vignerovih klasifikacionih metoda.

Teorija reprezentacije je takođe veoma zavisna od tipa vektorskog prostora na kome grupa deluje. Razlikuju se konačno-dimenzionalne reprezentacije i beskonačno-dimenzionalne. U beskonačno-dimenzionalnom slučaju važne su dodatne strukture (npr. da li je prostor Hilbertov prostor, Banahov prostor itd.).

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Fulton-Harris. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.

Literatura[уреди | уреди извор]

Spojašnje veze[уреди | уреди извор]