Transcendentan broj

Pi (π) je dobro poznati transcendentalni broj.

Transcendentan broj je pojam kojim se u matematici označava broj (realan ili kompleksan) koji nije rešenje nijedne algebarske jednačine sa racionalnim koeficijentima. Transcendentni brojevi su podskup iracionalnih brojeva (t.j. svi transcendentni brojevi su iracionalni, ali nisu svi iracionalni brojevi transcendentni). Na primer, e i pi su transcendentni (i iracionalni) dok je ${\sqrt {2}}$ iracionalan ali ne i transcendentan, jer je rešenje jednačine $x^{2}-2=0$. Brojevi koji nisu transcendentni se zovu algebarski.

Istorija

Termin „transcendentan broj“ je skovao 1682. godine Lajbnic kada je ustanovio da sinus nije algebarska funkcija svog argumenta, a u današnjem smislu ih je prvi definisao Ojler.

Dokaz da transcendentni brojevi postoje dao je Žozef Lijuvil 1844. godine, a 1851. godine je i konstruisao takav broj:

$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots$

tj., broj kod koga su decimale jedinice ako je njihov redni broj faktorijel prirodnog broja (1, 2, 6, 24,...), a u svim drugim slučajvima je nula.

Prvi broj koji nije specijalno konstruisan, a za koji je dokazano da je transcendentan je e, dokaz je 1873. godine dao Šarl Ermit.

Sledeće godine je Georg Kantor dokazao da algebarskih brojeva ima prebrojivo beskonačno mnogo, dok je transcendentnih neprebrojivo beskonačno mnogo. Kantor je 1878. godine dokazao da transcendentnih brojeva ima isto koliko i realnih, odnosno da su iste kardinalnosti.

Ferdinand fon Lindeman je 1882. godine dokazao da je e na bilo koji algebarski stepen koji nije nula transcendentan broj, odakle je kao specijalan slučaj dokazana transcendentnost broja π (jer je $e^{i\pi ;}=-1$).

David Hilbert je 1900. godine u sklopu svojih čuvenih problema, kao 7. problem postavio pitanje:

Ako je $a$ algebarski broj koji nije nula niti jedan, a $b$ iracionalan broj, da li je $a^{b}$ (npr. $2^{\sqrt {2}}$) uvek transcendentan?

Potvrdan odgovor je stigao 1934. godine u vidu Gelfond-Šnajderove teoreme.

Primeri

• $e^{a}$, gde je a algebarski broj različit od nule
• $\ln {x}$, za x različito od nule i jedinice
• $e^{\pi }=i^{i}$ Gelfondova konstanta
• $\sin {x}$, $\cos {x}$, $\tan {x}$, za algebarsko x
• $a^{b}$ gde je a algebarski broj različit od nule i jedinice, a b iracionalan broj, u posebnom slučaju $2^{\sqrt {2}}$ — Gelfond-Šnajderova konstanta
• Šampernaunova konstanta: 0,1234567891011121314151617181920...

Međutim, osim za Gelfondovu konstantu, ni za jednu drugu kombinaciju (zbir, razlika, proizvod, količnik, stepen) e i π nije poznato da je transcendentna: $e+\pi$, $e-\pi$, $e\pi$, $\pi /e$, $\pi ^{e}$, $e^{e}$, $\pi ^{\pi }$

Vidi još

• e
• pi