Дељење

С Википедије, слободне енциклопедије
20 / 4 = 5, илустровано овде са јабукама. Ово се вербално може исказати као „Двадесет подељено са четири једнако је пет”.

Дељење је једна од четири основне операције аритметике, начина на који се бројеви комбинују да би се створили нови бројеви. Остале операције су сабирање, одузимање и множење. Шаблон:Division sign ÷, симбол који се састоји од кратке водоравне линије са тачком изнад и још једном тачком испод, често се користи за означавање математичког дељења. Ова употреба, иако широко распрострањена, није ни универзална ни препоручена: стандард ISO 80000-2 за математичку нотацију препоручује само солидус / или разломачку црту за дељење, или две тачке за односе; наводи се да овај симбол „не треба користити“ за дељење.[1]

На основном нивоу, дељење два природна броја је, између осталих могућих интерпретација, поступак израчунавања колико пута се један број садржи у другом.[2]:7 Овај број пута није увек цео број (број који се могу добити коришћењем осталих аритметичких операција над природним бројевима).

Дељењем са остатком или Еуклидским дељењем два природна броја добија се целобројни количник, то јест колико пута је други број у потпуности садржан у првом броју, и остатак, који је део првог броја који остаје, када је у током израчунавања количника не може се доделити даљи пуни део величине другог броја.

Модификација дељења којом се добија само један резултат, доводи до проширења природних бројева на рационалне бројеве (бројеве који се могу добити коришћењем аритметике на природним бројевима) или реалне бројеве. У овим проширеним бројевним системима дељење је инверзна операција множења, то јест a = c / b значи a × b = c, све док b није нула. Ако је b = 0, онда је то дељење са нулом, што није дефинисано.[а][5]:246

Оба облика поделе појављују се у разним алгебарским структурама, различитим начинима дефинисања математичке структуре. Они у којима је дефинисана Еуклидска подела (са остатком) називају се Еуклидским доменима и укључују полиномске прстенове у једној неодређеној променљивој (који дефинишу множење и сабирање преко формула са једном променљивом). Они у којима је дефинисано дељење (са једним резултатом) на све ненулте елементе називају се поља и прстенови дељења. У прстену се елементи помоћу којих је дељење увек могуће називају јединицама (на пример, 1 и -1 у прстену целих бројева). Друга генерализација поделе на алгебарске структуре је количничка група, у којој је резултат „дељења“ група, а не број.

Увод[уреди | уреди извор]

Најједноставнији начин гледања на дељење је у смислу цитирања и партиције: из перспективе цитирања, 20 / 5 значи број петина које се морају додати да би се добило 20. У погледу партиције, 20 / 5 значи величину сваког од 5 делова на које је подељен скуп величине 20. На пример, 20 јабука се дели у пет група од четири јабуке, што значи да је двадесет подељено са пет једнако четири. Ово се означава као 20 / 5 = 4, или 20/5 = 4.[3] Оно што се дели назива се дељеник, који се дели делиоцем, а резултат назива количником. У примеру 20 је дељеник, 5 делилац и 4 количник.

За разлику од осталих основних операција, при дељењу природних бројева понекад постоји остатак који не бива равномерно распоређен у делитељу; на пример, 10 / 3 оставља остатак од 1, јер 10 није умножак од 3. Понекад се овај остатак додаје количнику као децимала, тако да је 10 / 3 једнако 3 1/3 или 3.33..., али у контексту целобројне поделе, где бројеви немају разложени део, остатак се чува одвојено (изузетно, одбачен или заокружен).[6] Када се остатак задржи као разломак, долази се до рационалног броја. Скуп свих рационалних бројева настаје проширивањем целих бројева са свим могућим резултатима дељења целих бројева.

За разлику од множења и сабирања, дељење није комутативно, што значи да a / b није увек једнако b / a.[7] Дељење, такође, генерално није асоцијативно, што значи да када се дели више пута, редослед дељења може променити резултат.[8] На пример, (20 / 5) / 2 = 2, but 20 / (5 / 2) = 8, али 20 / (5 / 2) = 8 (где употреба заграда указује на то да се операције у заградама изводе пре операција изван заграда).

Дељење се традиционално сматра лево-асоцијативном. Односно, ако постоји више подела у низу, редослед израчунавања иде с лева на десно:[9][10]

Дељење је десно-дистрибутивно над сабирањем и одузимањем, у смислу да

Ово је исто за множење, као . Међутим, дељење није лево-дистрибутивно, као

Ово се разликује од случаја множења, који је лево-дистрибутивно и десно-дистрибутивно, а самим тим и дистрибутивно.

Дељење у математици[уреди | уреди извор]

Дељење у математици је, дакле, операција супротна множењу. То је рачунска радња којом се из датог производа и једног чиниоца, тј. фактора, добија други чинилац. Поделити a са b значи наћи такво x да је b·x = a, или x·b = a. Дати производ a се назива дељеник, дати чинилац b назива се делилац, или делитељ, а непознати, тражени други чинилац x се назива количник или однос a са b. Операција дељења се означава са две тачке (a:b), или хоризонталном цртом , или косом цртом (a/b).

У прстену целих бројева дељење није увек изводљиво. На пример 12 је дељиво са 6, али није дељиво са 5. Ако се у дељењу целог броја a целим бројем b као количник добија цео број, каже се да је први број дељив (без остатка) са другим. У пољу рационалних бројева дељење је увек изводљиво и једнозначно, сем дељења с нулом. Ако је b≠0, за a≠0 ће бити a≠b·0. У дељењу a=0 са b=0 количник x може бити сваки број. Међутим, да се не би нарушила једнозначност операције, дељење нулом се и у таквом случају сматра немогућим.

Дељење са остатком два цела броја a и b који нису негативни је изналажење два броја x и y, који такође нису негативни, и који задовољавају услове: 1) a=bx+y, 2) y<b. Број a се назива дељеник (дивиденд), број b је делилац (делитељ, дивизор), x је непотпуни количник (кад је y≠0) или количник (кад је y=0), y је остатак.

Аналогно овоме се дефинише дељење и дељење с остатком за полином.

Особине[уреди | уреди извор]

Дељење са даје супротни број

Нула подељена с природним бројем је 0.

Број подељен самим собом даје број 1.

Проширивање количника

Скрачивање количника

za

Количник негативног и позитивног целог броја је негативни број чија је апсолутна вредност једнака количнику апсолутних вредности задатих бројева.

Количник два негативна цела броја је позитиван број чија је апсолутна вредност једнака количнику апсолутних вредности дељеника и делитеља.

(

Дељење се може приказати преко сабирања и одузимања бројева

Као и код множења важи закон дистрибуције дељења у односу на сабирање

Али закон дистрибутивности не важи у случају

Двојни разломак[уреди | уреди извор]

Двојни разломак је разломак облика

Он се решава на следећи начин

Дељење с нулом[уреди | уреди извор]

Детаљније: Дељење с нулом

Дељење било којег броја са нулом (где је нула делилац) није дефинисано.

Дијељење целих бројева[уреди | уреди извор]

Дељење целих бројева није затворена рачунска операција. Количник бројева неће бити цели број ако дељеник није вишекратник делитеља.

Пример

26 се не може поделити са 10 и дати цели број као количник. У том случају постоји четири приступа:

  1. Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
  2. Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle ili Ovo je najčešći pristup u matematici.
  3. Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle
  4. Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle

Dijeljenje kompleksnih brojeva[уреди | уреди извор]

Količnik dva kompleksna broja od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

za p, q, r, s realne brojeve r , s razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

za p, q, r, s realne brojeve r različito od 0.

Dijeljenje decimalnih brojeva[уреди | уреди извор]

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

Таблица дељења[уреди | уреди извор]

Неколико основиних таблица дељења су:[11]

Дељење са 1 Дељење са 2 Дељење са 3 Дељење са 4 Дељење са 5 Дељење са 6 Дељење са 7
1:1=1 2:2=1 3:3=1 4:4=1 5:5=1 6:6=1 7 : 7 = 1
2:1=2 4:2=2 6:3=2 8:4=2 10:5=2 12:6=2 14 : 7 = 2
3 : 1 = 3 6:2=3 9:3=3 12:4=3 15:5=3 18:6=3 21 : 7 = 3
4 : 1 = 4 8:2=4 12:3=4 16:4=4 20:5=4 24:6=4 28 : 7 = 4
5 : 1 = 5 10:2=5 15:3=5 20:4=5 25:5=5 30:6=5 35 : 7 = 5
6 : 1 = 6 12:2=6 18:3=6 24:4=6 30:5=6 36:6=6 42 : 7 = 6
7 : 1 = 7 14:2=7 21:3=7 28:4=7 35:5=7 42:6=7 49 : 7 = 7
8 : 1 = 8 16:2=8 24:3=8 32:4=8 40:5=8 48:6=8 56 : 7 = 8
9: 1 = 9 18:2=9 27:3=9 36:4=9 45:5=9 54:6=9 63 : 7 = 9
10:1=10 20:2=10 30:3=10 40:4=10 50:5=10 60:6=10 70 : 7 = 10
Дељење са 8 Дељење са 9 Дељење са 10
8:8=1 9:9=1 10 : 10 = 1
16:8=2 18:9=2 20 : 10 = 2
24:8=3 27:9=3 30 : 10 = 3
32:8=4 36:9=4 40 : 10 = 4
40:8=5 45:9=5 50 : 10 = 5
48:8=6 54:9=6 60 : 10 = 6
56:8=7 63:9=7 70 : 10 = 7
64:8=8 72:9=8 80 : 10 = 8
72:8=9 81:9=9 90 : 10 = 9
80:8=10 90:9=10 100 : 10 = 10

Правила дељења[уреди | уреди извор]

Правила дељења могу помоћи при брзом одређивању да ли се један цели број може поделити у други цели број.[12]

Дељивост са бројем 2

Број је дељив бројем 2 ако је паран односно ако је његова последња цифра паран број: 0, 2, 4, 6, 8

Дељивост са бројем 3

Број је дељив бројем 3 ако је збир његових цифара дељив са 3.

..........

Дељивост са бројем 4

Број је дељив са 4 ако је двоцифрени број који чине 2 последње цифре тог броја дељив са 4

jer je

Дељивост са бројем 5

Број је дељив са 5 ако је његова посљедња цифра 0 или 5

Дељивост са бројем 6

Број је дељив са 6 ако је са 2 и са 3

jer je i

Дељивост са бројем 8

Број је дељив са 8 ако је троцифрени број који цине 3 последње цифре тог броја дељив са 8

jer je

Дељивост са бројем 9

Број је дељив са 9 ако је збир цифара дељив са 9.

jer je

Дељивост са бројем 10

Број је дељив са 10 ако је дељив бројевима 2 и 5, односно завешава се цифром 0

jer je

Дељење и калкулус[уреди | уреди извор]

Деривација количника две функције дата је правилом деривације количника:

Не постоји генерална метода интеграције количника две функције.

Види још[уреди | уреди извор]

Напомене[уреди | уреди извор]

  1. ^ Дељење са нулом може бити дефинисано у неким околностима, било продужењем реалних бројева на продужену линију реалног броја или на пројективно продужену реалну линију или када се јавља као лимит дељења бројева који теже 0. На пример: limx→0 sin x/x = 1.[3][4]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ ISO 80000-2, Section 9 "Operations", 2-9.6
  2. ^ Blake, A. G. (1887). Arithmetic. Dublin, Ireland: Alexander Thom & Company. 
  3. ^ а б Weisstein, Eric W. „Division”. MathWorld. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. „Division by Zero”. MathWorld. 
  5. ^ Derbyshire, John (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York City: Penguin Books. ISBN 978-0-452-28525-5. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. „Integer Division”. MathWorld. 
  7. ^ „Commutative Operation”. Архивирано из оригинала на датум 28. 10. 2018. Приступљено 01. 03. 2021.  Retrieved October 23, 2018
  8. ^ „Associative Operation”. Архивирано из оригинала на датум 28. 10. 2018. Приступљено 01. 03. 2021.  Retrieved October 23, 2018
  9. ^ George Mark Bergman: Order of arithmetic operations Архивирано 2017-03-05 на сајту Wayback Machine
  10. ^ Education Place: The Order of Operations Архивирано 2017-06-08 на сајту Wayback Machine
  11. ^ Tablica
  12. ^ Djeljivost brojem 2, brojem 3, brojem 4, brojem 5, brojem 6, brojem 8, brojem 9, brojem 10

Спољашње везе[уреди | уреди извор]