Велика кружница

Велика кружница, такође позната као ортодром, сфере (лопте) је кружница која се добија пресеком сфере са равни која пролази кроз њен центар. Полупречник велике кружнице сфере једнак је полупречнику сфере на којој она лежи. Кроз сваке две тачке сфере које нису крајеви њеног пречника пролази само једна велика кружница сфере. Било које две велике кружнице сфере секу се у двема дијаметрално супротним тачкама сфере. Велика кружница је највећи круг који се може нацртати на било којој датој сфери. Било који пречник било које велике кружнице поклапа се са пречником сфере, те стога све велике кружнице имају исто средиште и обим једна са другом. Овај посебан случај кружнице сфере је у супротности са малом кружницом, односно пресеком сфере и равни која не пролази кроз центар. Сваки круг у Еуклидском 3-простору је велики круг тачно једне сфере.

За већину парова различитих тачака на површини сфере постоји јединствена велика кружница кроз две тачке. Изузетак је пар антиподних тачака, за које постоји бескрајно много великих кругова.^[1] Мали лук великог круга између две тачке је најкраћи површински пут између њих. У том смислу, мали лук је аналоган „правим линијама“ у Еуклидској геометрији. Дужина мањег лука великог круга узима се као растојање између две тачке на површини сфере у Риманској геометрији где се такве велике кружнице називају Римановским кружницама.^[2] Ове велике кружнице су геодезици сфере.^[3]^[4]

Диск омеђен великом кружницом назива се велики диск: то је пресек лопте и равни која пролази кроз њено средиште.^[5]^[6] У вишим димензијама, велике кружнице на n-сфери пресек су n-сфере и 2-равни које пролазе кроз координатни почетак у Еуклидском простору R^{n + 1}.

Извођење најкраћих стаза

Да би се доказало да је мањи лук великог круга најкраћи пут који повезује две тачке на површини сфере, на њега се може применити варијациони рачун.^[7]^[8]^[9]^[10]

Размотримо класу свих правилних путања од тачке $p$ до друге тачке $q$ . Могу се увести сферне координате тако да се $p$ поклапа са северним полом. Било која крива на сфери која не пресеца ниједан пол, осим можда на крајњим тачкама, може се параметризовати помоћу

\theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b

под условом да се допусти да $\phi$ поприми произвољне реалне вредности. Инфинитезимална дужина лука у овим координатама је

ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.

Стога, дужина криве $\gamma$ од $p$ до $q$ је функционал крива дата са

S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.

Према Ојлер-Лагранжовој једначини,^[11]^[12] $S[\gamma ]$ је минимизован ако и само ако

{\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C

,

при чему је $C$ константа независна од $t$ , и

{\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.

Из прве од ове две једначине се може се добити да

\phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}

.

Интегришући обе стране и узимајући у обзир гранични услов, реално решење за $C$ је нула. Стога, $\phi '=0$ и $\theta$ могу бити било које вредности између 0 и $\theta _{0}$ , што значи да крива мора лежати на меридијану сфере. У картезијанским координатама ово је

x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0

што је раван кроз координатни почетак, тј. центар сфере.

Примене

Неки примери великих кругова на небеској сфери укључују небески хоризонт,^[13]^[14] небески екватор,^[15]^[16] и еклиптику.^[17]^[18] Велике кружнице се такође користе као прилично прецизне апроксимације геодезика на површини Земље за ваздушну или морску навигацију (иако то није савршена сфера), као и за сфероидна небеска тела.

Екватор идеализоване земље је велики круг и сваки меридијан и његов супротни меридијан чине велики круг.^[19] Још један велики круг је онај који дели копнену и водену хемисферу. Велика кружница дели земљу на две хемисфере и ако велика кружница пролази кроз тачку она мора проћи кроз антиподалну тачку.

Фанкова трансформација интегрише функцију дуж свих великих кругова сфере.^[20]^[21]^[22]

Види још

Референце

^ Chisholm, Hugh, ур. (1911). „Antipodes”. Encyclopædia Britannica (на језику: енглески). 2 (11 изд.). Cambridge University Press. стр. 133—34.
^ Gromov, M.: "Filling Riemannian manifolds", Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1–147.
^ Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 . See section 1.4.
^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New изд.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
^ Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591 .
^ Arnold, B. H. (2013), Intuitive Concepts in Elementary Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765 .
^ Benesova, B. and Kruzik, M.: „"Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications"”. doi:10.1137/16M1060947. . SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
^ Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, (Oskar) Bolza, O. (септембар 2006). Lectures on the Calculus of Variations; by Oskar Bolza. Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library. ISBN 978-1-4181-8201-4. .
^ Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
^ Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.
^ Roubicek, T.: Calculus of variations. Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim. 2014. ISBN 978-3-527-41188-7. стр. 551-588..
^ Clarke, A.E. Roy, D. (2003). Astronomy principles and practice (PDF) (4th. изд.). Bristol: Institute of Physics Pub. стр. 59. ISBN 9780750309172. Архивирано из оригинала (PDF) 10. 07. 2018. г. Приступљено 9. 7. 2018.
^ Young, Andrew T.; Kattawar, George W.; Parviainen, Pekka (1997). „Sunset science. I. The mock mirage”. Applied Optics. 36 (12): 2689—2700. Bibcode:1997ApOpt..36.2689Y. PMID 18253261. doi:10.1364/ao.36.002689.
^ „Celestial Equator”. Приступљено 5. 8. 2011.
^ Berger, A.L. (1976). „Obliquity and Precession for the Last 5000000 Years”. Astronomy and Astrophysics. 51 (1): 127—135. Bibcode:1976A&A....51..127B.
^ USNO Nautical Almanac Office; UK Hydrographic Office, HM Nautical Almanac Office (2008). The Astronomical Almanac for the Year 2010. GPO. стр. M5. ISBN 978-0-7077-4082-9.
^ „LEVEL 5 Lexicon and Glossary of Terms”.
^ Millar, William (2006). The Amateur Astronomer's Introduction to the Celestial Sphere. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67123-1.
^ Bailey, T. N.; Eastwood, Michael G.; Gover, A. Rod; Mason, L. J. (2003), „Complex analysis and the Funk transform” (PDF), Journal of the Korean Mathematical Society, 40 (4): 577—593, MR 1995065, doi:10.4134/JKMS.2003.40.4.577, Архивирано из оригинала (PDF) 03. 03. 2016. г., Приступљено 18. 04. 2021
^ Dann, Susanna (2010), On the Minkowski-Funk Transform, Bibcode:2010arXiv1003.5565D, arXiv:1003.5565 
^ Funk, Paul (1913), „Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien”, Mathematische Annalen, 74 (2): 278—300, doi:10.1007/BF01456044

Литература

Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] изд.). New York: Dover Publications. стр. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] изд.). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman.
Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.
Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).
Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere).
Marsaglia, G. (1972). „Choosing a Point from the Surface of a Sphere”. Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645—646. doi:10.1214/aoms/1177692644.
Huber, Greg (1982). „Gamma function derivation of n-sphere volumes”. Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301—302. JSTOR 2321716. MR 1539933. doi:10.2307/2321716.
Barnea, Nir (1999). „Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction”. Phys. Rev. A. 59 (2): 1135—1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135.
Tarasashvili MV, Sabashvili ShA, Tsereteli SL, Aleksidze NG (26. 3. 2013). „New model of Mars surface irradiation for the climate simulation chamber 'Artificial Mars'”. International Journal of Astrobiology. 12 (2): 161—170. Bibcode:2013IJAsB..12..161T. doi:10.1017/S1473550413000062.
„Equal length of day and night on Saturn: the start of spring in the northern hemisphere”. German Aerospace Center. Приступљено 1. 2. 2021.

Спољашње везе

Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
Great Circles on Mercator's Chart by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project.
Navigational Algorithms Архивирано на сајту Wayback Machine (16. октобар 2018) Paper: The Sailings.
Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.

[EB1911-1] Chisholm, Hugh, ур. (1911). „Antipodes”. Encyclopædia Britannica (на језику: енглески). 2 (11 изд.). Cambridge University Press. стр. 133—34.

[2] Gromov, M.: "Filling Riemannian manifolds", Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1–147.

[3] Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 . See section 1.4.

[4] Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New изд.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3

[odm-5] Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591 .

[6] Arnold, B. H. (2013), Intuitive Concepts in Elementary Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765 .

[7] Benesova, B. and Kruzik, M.: „"Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications"”. doi:10.1137/16M1060947. . SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.

[8] Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, (Oskar) Bolza, O. (септембар 2006). Lectures on the Calculus of Variations; by Oskar Bolza. Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library. ISBN 978-1-4181-8201-4. .

[9] Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.

[10] Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.

[11] Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.

[12] Roubicek, T.: Calculus of variations. Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim. 2014. ISBN 978-3-527-41188-7. стр. 551-588..

[Clarke2003-13] Clarke, A.E. Roy, D. (2003). Astronomy principles and practice (PDF) (4th. изд.). Bristol: Institute of Physics Pub. стр. 59. ISBN 9780750309172. Архивирано из оригинала (PDF) 10. 07. 2018. г. Приступљено 9. 7. 2018.

[14] Young, Andrew T.; Kattawar, George W.; Parviainen, Pekka (1997). „Sunset science. I. The mock mirage”. Applied Optics. 36 (12): 2689—2700. Bibcode:1997ApOpt..36.2689Y. PMID 18253261. doi:10.1364/ao.36.002689.

[15] „Celestial Equator”. Приступљено 5. 8. 2011.

[16] Berger, A.L. (1976). „Obliquity and Precession for the Last 5000000 Years”. Astronomy and Astrophysics. 51 (1): 127—135. Bibcode:1976A&A....51..127B.

[AA2010-17] USNO Nautical Almanac Office; UK Hydrographic Office, HM Nautical Almanac Office (2008). The Astronomical Almanac for the Year 2010. GPO. стр. M5. ISBN 978-0-7077-4082-9.

[18] „LEVEL 5 Lexicon and Glossary of Terms”.

[19] Millar, William (2006). The Amateur Astronomer's Introduction to the Celestial Sphere. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67123-1.

[20] Bailey, T. N.; Eastwood, Michael G.; Gover, A. Rod; Mason, L. J. (2003), „Complex analysis and the Funk transform” (PDF), Journal of the Korean Mathematical Society, 40 (4): 577—593, MR 1995065, doi:10.4134/JKMS.2003.40.4.577, Архивирано из оригинала (PDF) 03. 03. 2016. г., Приступљено 18. 04. 2021

[21] Dann, Susanna (2010), On the Minkowski-Funk Transform, Bibcode:2010arXiv1003.5565D, arXiv:1003.5565 

[22] Funk, Paul (1913), „Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien”, Mathematische Annalen, 74 (2): 278—300, doi:10.1007/BF01456044

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]