Фрудов број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Вилијамс Фруд (Вилијамс Фруд), енглески инжењер, хидродинамичар и конструктор бродова.

Фрудов број је бездимензијска величина. Може се сматрати да је хидродинамички еквивалент Маховом броју, а одражава сличност кретања у простору додира два флуида различите густине. Физички представља однос инерцијалних и гравитационих сила. Најзначајнија му је употреба за успостављање сличних услова кретања пловила на води. Добио је име по енглеском инжењеру, истраживачу у домену хидродинамике, Вилијамсу Фруду.

Коришћене физичке величине[уреди]

Чамац с крилом, који полеће и слеће на води.
  • Основне
    • \ l је дужина [m]
    • \ m је маса [kg]
    • \ t је време [s]
  • Изведене
    • {\bold \mathrm v} је брзина [m/s]
    • \mathbf {c} је генерисана брзина почетног хидродинамичког таласа [m/s]
    • \mathbf {c_w} је резултујућа брзина хидродинамичког таласа [m/s]
    • \ g убрзање земљине теже (гравитација) [m/s2]
    • \ b највећа оквашена ширина [m]
    • \ L највећа оквашена дужина [m]

Феномен[уреди]

Чамац прави бразду, траг.

У природи је распрострањен пример попуне одређеног простора с ваздухом и водом, то јест заједничког смештаја два флуида различите густине. Примери су, за случај вода-ваздух, мора, реке и језера. Услед различите специфичне тежине ваздуха и воде, под утицајем земљине теже, је разграничен њихов смештај у простору. Разграничење представља њихову, међусобну додирну површину.

За случај кретања тела кроз простор додира двају флуида, условна површина тела се поклапа с додирном површином флуида (у наведеном примеру, ваздуха и воде). При кретању се, међусобно додирна површина флуида, мења по облику у струјном пољу око тела, као на слици при кретању чамца.

Овом кретању се супротставља сила, чија једна компонента зависи од облика поремећене додирне површине флуида, у непосредној близини тела.

Примери оваквог кретања су пловци хидроавиона, амфибијско возило, летећи чамац (при полетању и слетању на воду), хидроглисер, брод итд.[1]

Дефиниција[уреди]

Параметри таласа[уреди]

Брзина и облик кретања таласа

У хидродинамичким каналима се испитује и мери утицај облика таласа на параметре кретања тела. Талас се генерише у додиру флуида с телом, које се креће по површини додира двају флуида различите густине. На основу искуства и оваквих мерења је закључено да компонента силе супростављања томе кретању, зависи од облика таласа, по амплитуди, периоду и учестаности (илустрација таласа на слици десно). Талас има карактеристике осцилаторног кретања, дефинисаног с дужином λ m, периодом T s и с таласном брзином c = λ/T m/s.

Мерења се реализују у хидродинамичким каналима, за кретање одређеног тела, с разлитим брзинама и за различите величине модела, с варирањем размере.[2]

Бездимензијска анализа[уреди]

Имајући у виду, да параметри таласа зависе од убрзања земљине теже, те и та компонента силе супростављања кретању, односно њен бездимензијски коефицијент зависи од убрзања g. У аеродинамици постоје исто тако примери где на резултате мерења утиче земљино убрзање g. То је при испитивању ковита у вертикалном аеротунелу.

Проблем бездименијске анализе је исти као у Рејнолдсовом броју.

Хидродинамичка сила се може написати, у претходном контексту за нестишљиво и невискозно струјање, као функција:[3]

Талас, који генерише пловило.
C_F = f\left(\rho,\bold \mathrm v, l, g, \kappa,\alpha,\beta\right)

Где су: κ облик аеротела, α нападни угао и β бочни угао.

Претходна функција се може развити у ред:[4]

C_F =\sum A \rho^x {\bold \mathrm v}^y l^z g^p \kappa^q \alpha^r \beta^s

Применом бездимензијске анализе, мора се постићи индентичност димензија леве и десне стране једначине:

Dim\left[C_F\right] \equiv Dim\left[\rho^x{\bold \mathrm v}^yl^z g^p\right]

Коефицијент хиродинамичке силе CF нема димензију, те и и однос величина на десној страни једначине мора бити без димензије. Значи, обе стране једначине су без димензије:

Dim\left[C_F\right] = 1\quad\Rightarrow\quad Dim\left[\rho^x{\bold \mathrm v}^y l^z g^p\right] = 1

Из овога услова се одређују експоненти утицајних физичких величина, у претпостављеној функцији.

Dim\left[C_F\right] = 1\Rightarrow l^0 m^0 t^0 \equiv \left(l^{-3} m \right)^x \left(l\, t^{-1} \right)^y l^z \left(l t^{-2}\right)^p \Rightarrow l^0 m^0 t^0 \equiv l^{-3x+y+z+p} m^{x} t^{-y-2p}\quad \Rightarrow
0 = -3x+y+z+p;\quad 0 = x;\quad 0 = y+2p

Заменом решења овог система једначина, се добија:

\,x = \,0;\quad\, y = \,-2p;\quad\, z = \,p\quad\Rightarrow\quad C_F = \sum A\left(\frac{l g}{\bold \mathrm {v^2}}\right)^p\kappa^q \alpha^r \beta^s

Пошто су A, p, q, r и s потпуно произвољне вредности, произилази да је:

C_F = f\left(\frac{l g}{\bold \mathrm {v^2}},\, \kappa,\, \alpha,\, \beta\right)

Где се добијени израз без димензије назива Фрудов број, а означава се:

F_r = \frac{\bold \mathrm {v^2}}{l g}

Имајући у виду чињеницу да је Фрудов број без димензије, може се приступити математичкој поставци:

Dim\left[F_r\right] \equiv Dim\left[\frac{\bold \mathrm {v^2}}{l g}\right] = 1\quad\Rightarrow\quad\,Dim\left[F_r\right] \equiv Dim\left[\frac{\bold \mathrm {v}}\sqrt{l g}\right] = 1

Пошто у претходном изразу броиоц има димензију брзине (m/s), то има и имениоц (пошто је количник њихових димензија једнак јединици), а има и везу с таласом, то имениоц представља таласну брзину, c m/s.

У образложењу горње функције CF, је наглашена чињеница да је експонент p, над изразом за Фрудов број, било који произвољан број. Сагласно томе се може сматрати да тај произвољни број у себи садржи и квадратни корен, а да се при томе не мења смисао функције.

На основу претходног, може се сматрати да је Фрудов број однос брзине тела и брзине простирања таласа, који тело иницијално генерише у флуиду (нпр. у води).[5]

F_r = \frac{\mathbf {v}}{\sqrt{l g}} = \frac{\mathbf{v}}{\mathbf{c}}  \quad\Rightarrow\quad\,\mathbf{c} = \sqrt{l g} = \frac{\lambda}{T}

Употреба[уреди]

Примена код пловила[уреди]

Оквашена дужина брода.

За пловила:бродове, глисере, чамце итд. је Фрудов број у облику:

F_r = \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{gL}}

Где је L усвојена највећа дужина оквашеног дела пловила, у линији додира ваздуха и воде.

Нпр. брод, при кретању, генерише таласе с приближном таласном дужином као и вредност за L.

Теоретски гледано, струјање око брода се дели на категорије: [6]

  • под-критично Fr<1, брзина брода је мања од брзине распостирања таласа
  • критично Fr=1, брзина брода је једнака брзини распростирања таласа
  • над-критично Fr>1, брзина брода је већа од брзине распростирања таласа

У групу подкритичних струјања спадају велике брзине бродова који плове у дубоким водама, где се неометано развијају дивергентни таласи.

Кроз критични режими струјања су у опсегу Фрудових бројева:

F_r = 0,85\div 1,1

Резултујући талас се простире резултујућом брзином од:

\mathbf {c_w} = \sqrt{g h}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{\frac{g L}{2 \pi}}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{g L} = {\mathbf {c_{w}}} \sqrt{2 \pi}\ \quad\Rightarrow\quad F_r = \frac{\mathbf{v}}{\mathbf {c_{w}}\sqrt{2 \pi}}

Где је: h = \frac{L}{2\pi}

У случају изједначења:

\mathbf \mathbf{v} = \mathbf{c_w}\quad\Rightarrow\quad F_r = \frac{1}\sqrt{2 \pi}\quad\Rightarrow\quad F_r \approx  0,4

Када брзина брода претекне вредност \sqrt{\frac{g L}{2 \pi}}, онда претиче и брзину резултујућег таласа и почиње да глисира. У томе случају је Фрудов број:

 F_r \geqq  0,4

Тада брод глисира на површини воде, упоредиво као и авион када лети надзвучном брзином.

При овим условима, нагло опадне сила отпора од таласа, која се супротставља кретању пловила. Код авиона је инверзни случај, отпор нагло порасте у надзвучном лету.

То је сасвим објашњиво, с јасном аргументацијом физикалности. У надзвучном лету је авион изложен утицају снажних ударних таласа, а последично и скоку отпора.

Пловило при глисирању се ослобађа од таласа воде и од њиховог изазивања компоненте силе отпора. Отпор, кретању пловила се своди, само на компоненте силе отпора од ваздуха и од трења услед глисирања по површини воде.

Да би се глисирање раније изазвало и подржало, на хидроглисер се уграђују хидрокрила, с којима се ствара хидроузгон и пловило се подиже у позицију глисирања, још на мањим бризинама. Ова се технологија редовно користи код хидроглисера за брже и лакше успоствљање режима глисирања.

Фрудов број је користан за упоређење и анализу утицаја величине трупа на отпор брода.[7]

Таласи у плиткој води[уреди]

За таласе у плиткој води, као што су таласи плиме, преливи преко брана и водопада је Фрудов број:

F_r = \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{g d}}

Где је d ширина попречног пресека струјног поља, на који је ток упрошћено сведен.

Овде се исто за вредности Фрудовог броја Fr < 1 се користи назив под-критични проток, за Fr = 1, критични проток и Fr > 1 над-критични проток.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 94, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
  2. Chanson, Hubert (2004), Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction (2nd ed.), Butterworth–Heinemann, ISBN 978-0-7506-5978-9. ,. pp. 650.
  3. Бездимензијона анализа, Приступљено 29. 4. 2013.
  4. Hidrodinamika, IV izdanje,str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
  5. Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76,98, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
  6. Извор,. pp. 6, Приступљено 29. 4. 2013.
  7. Chanson (2004), p. xxvii.

Литература[уреди]

Коришћени извори[уреди]

  • Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi i drugi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
  • ((en))- {Hidráulica de los canales abiertos. Ven Te Chow. 1982. ISBN 978-968-13-1327-2.}-
  • ((en)) Mott, Robert L. Mecánica de Fluidos. Sexta Edición. Editorial Pearson. México, 2006.

Спољашње везе[уреди]