Hi-kvadratna raspodela

Hi-kvadrat
	Funkcija gustine verovatnoće
	Funkcija kumulativne raspodele
Notacija	ili
Parametri	(poznati kao „stepeni sloboda”)
Nositelj	ako je , inače
PDF
CDF
Prosek
Medijana
Modus
Varijansa
Koef. asimetrije
Kurtoza
Entropija
MGF
CF
PGF

U teoriji verovatnoće i statistici, hi-kvadratna raspodela (takođe hi-kvadrat ili χ²-raspodela) sa $k$ stepena slobode je distribucija sume kvadrata $k$ nezavisnih standardno normalnih randomnih promenljivih. Hi-kvadratna distribucija je specijalni slučaj gama distribucije i jedna je od od najšire korištenih distribucija verovatnoće u inferencijskoj statistici, naročito u testiranju hipoteza ili u konstrukciji intervala pouzdanosti.^[2]^[3]^[4]^[5] Kada se pravi razlika od opštije necentralne hi-kvadratne raspodele, ova distribucija se ponekad naziva centralnom hi-kvadratnom raspodelom.

Hi-kvadratna raspodela se koristi u uobičajenim hi-kvadratnim testovima za adekvatnost uklapanja posmatrane distribucije u teorijski očekivanu, nezavisnost dva kriterijuma klasifikacije kvalitativnih podataka, i procenu intervala pouzdanosti za populaciju standardnih devijacija normalne distribucije iz standardne devijacije uzorka. Mnogi drugi statistički testovi takođe koriste ovu distribuciju, kao što je Fridmanova analiza varijanse po rangovima.

Definicija[уреди | уреди извор]

Ako su Z₁, ..., Z_k nezavisnе, standardno normalne randomne promenljive, onda je suma njihovih kvadrata,

Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},

distribuirana u skladu sa hi-kvadratnom distribucijom sa k stepeni slobode. Ovo se obično označava sa

Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.

Hi-kvadratna distribucija ima jedan parametar: k, pozitivni integer koji specificira broj stepeni slobode (broj Z_i vrednosti).

Tabela χ² vrednosti vs p-vrednosti[уреди | уреди извор]

p-vrednost je verovatnoća opservacije statističkog testa bar kao ekstrema u hi-kvadratnoj distribuciji. Shodno tome, pošto kumulativna funkcija raspodele (CDF) za odgovarajuće stepene slobode (df) daje verovatnoću da je dobijena vrednost manje ekstremna od ove tačke, oduzimanje CDF vrednosti od 1 daje p-vrednost. Mala p-vrednost, ispod izabranog nivoa značaja, ukazuje na statistički značaj, tj. dovoljan dokaz da se odbaci nulta hipoteza. Nivo značaja od 0,05 se često koristi kao granica između značajnih i neznačajnih rezultata.

Donja tabela daje broj p-vrednosti koje odgovaraju sa χ² za prvih 10 stepeni slobode.

Stepeni slobode (df)	χ² vrednost^[6]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1,07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4,61	5,99	9,21	13,82
3	0,35	0,58	1,01	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,81	11,34	16,27
4	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	13,28	18,47
5	1,14	1,61	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	15,09	20,52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	18,48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	20,09	26,12
9	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4,87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	23,21	29,59
P vrednost (verovatnoća)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Ove vrednosti se mogu izračunati procenom funkcije kvantila (takođe poznate kao „inverzni CDF” ili „ICDF”) raspodele hi-kvadrata;^[7] e. g., $χ 2$ ICDF za $p = 0,05$ i $df = 7$ daje $14,06714 \approx 14,07$ kao u gornjoj tabeli.

Reference[уреди | уреди извор]

^ M.A. Sanders. „Characteristic function of the central chi-square distribution” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) на датум 2011-07-15. Приступљено 2009-03-06.
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ур. (1983) [јун 1964]. „поглавље 26”. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first изд.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. стр. 940. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
^ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution
^ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). „Chi-Square Distributions including Chi and Rayleigh”. Continuous Univariate Distributions. 1 (Second изд.). John Wiley and Sons. стр. 415—493. ISBN 978-0-471-58495-7.
^ Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third изд.). McGraw-Hill. стр. 241–246. ISBN 978-0-07-042864-5.
^ Chi-Squared Test Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. In turn citing: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Two values have been corrected, 7.82 with 7.81 and 4.60 with 4.61
^ R Tutorial: Chi-squared Distribution

Literatura[уреди | уреди извор]

Hald, Anders (1998). A history of mathematical statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-17912-2.
Elderton, William Palin (1902). „Tables for Testing the Goodness of Fit of Theory to Observation”. Biometrika. 1 (2): 155—163. doi:10.1093/biomet/1.2.155.
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Chi-squared distribution”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]

[1] M.A. Sanders. „Characteristic function of the central chi-square distribution” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) на датум 2011-07-15. Приступљено 2009-03-06.

[abramowitz-2] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ур. (1983) [јун 1964]. „поглавље 26”. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first изд.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. стр. 940. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

[3] NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution

[Johnson_et_al-4] Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). „Chi-Square Distributions including Chi and Rayleigh”. Continuous Univariate Distributions. 1 (Second изд.). John Wiley and Sons. стр. 415—493. ISBN 978-0-471-58495-7.

[5] Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third изд.). McGraw-Hill. стр. 241–246. ISBN 978-0-07-042864-5.

[6] Chi-Squared Test Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. In turn citing: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Two values have been corrected, 7.82 with 7.81 and 4.60 with 4.61

[7] R Tutorial: Chi-squared Distribution

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Hi-kvadrat
Funkcija gustine verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Notacija	$\chi ^{2}(k)\;$ ili $\chi _{k}^{2}\!$
Parametri	$k\in \mathbb {N} _{>0}~~$ (poznati kao „stepeni sloboda”)
Nositelj	$x\in (0,+\infty )\;$ ako je $k=1$ , inače $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
CDF	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Prosek	$k$
Medijana	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Modus	$\max(k-2,0)\;$
Varijansa	$2k\;$
Koef. asimetrije	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
Kurtoza	${\frac {12}{k}}$
Entropija	${\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\log(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}$
MGF	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ za }}t<{\frac {1}{2}}\;$
CF	$(1-2it)^{-k/2}$ ^[1]
PGF	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ za }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

Definicija[уреди | уреди извор]

Tabela χ2 vrednosti vs p-vrednosti[уреди | уреди извор]

Reference[уреди | уреди извор]

Literatura[уреди | уреди извор]

Spoljašnje veze[уреди | уреди извор]

Tabela χ² vrednosti vs p-vrednosti[уреди | уреди извор]