Mandelbrotov skup

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Zumiranje u Mandelbrotov set
Mandelbrotov skup

Mandelbrotov set ili skup je skup tačaka kompleksne ravni za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan.[1][2] One su povezane funkcijom koja ne divergira pri iteracijama od , i.e., za koju sekvenca , , etc., ostaje vezana u apsolutnoj vrednosti. Set je dobio ime po francusko-američkom matematičaru Benoi Mandelbrotu.[3]

Slike Mandelbrotovog seta se mogu kreirati putem uzorkovanja kompleksnih brojeva i testiranja, za svaku tačku uzorka , da li sekvenca ide u beskonačnost (u praksi - da li napušta neko unapred određeno granično susedstvo od 0 nakon unapred određenog broja iteracija). Tretirajući realne i imaginarne delove od kao koordinate slike kompleksne ravni, pri čemu se pikseli zatim mogu obojiti prema tome koliko brzo niz prelazi neki proizvoljno izabrani prag. Specijalna boja (obično crna) se koristi za vrednosti za koje sekvenca niz ne prelazi preko praga nakon unapred određenog broja iteracija (to je neophodno da bi se napravila jasna razlika između slike Mandelbrotovog seta i njegovog komplementa). Ako se drži konstantinim i inicijalna vrednost od , označena sa , se umesto toga varira, dobija se korespondirajući Julijin set za svaku tačku u parametarskom prostoru jednostavne funkcije.

Konstrukcija[уреди]

Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrednost c odgovara koordinati kompleksne ravni na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Zavisno od tog broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravni označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definiše se Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći tačke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama zavisno od toga koliko brzo divergiraju.

Svojstva[уреди]

Osnovna[уреди]

Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravni

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve tačke unutar (zatvorenog) kruga poluprečnika 2 sa središtem u ishodištu. Štaviše, tačka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vredi za sve . Drugim rečima, ako je apsolutna vrednost za neki veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presek Mandelbrotovog skupa sa realnom osom daje interval [−2, 0.25]. Površina se procenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se veruje da je jednaka

Samosličnost[уреди]

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmenjene verzije njega samog.[4][5] Izmenjene su uglavnom zbog skupova tačaka koji „vire” iz njih povezujući ih s glavnim delom (deo 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

Mandelzoom.jpg

Atraktori perioda-n[уреди]

Skupovi tačaka konvergiraju onom broju vrednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenom cifrom 1 na slici sa strane svaka tačka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednačine). Na području 2 svaka tačka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, . Područja koja su direktno spojena s područjem 1 čine atraktor perioda-n, ako iz njih „viri” n-1 „antena”:

Mandel rays.jpg

Galerija uvećavanja[уреди]

Svaka slika predstavlja jedan uvećani deo prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilike 60 000 000 000 : 1. Na prosečnom monitoru zadnja slika bi bila deo Mandelbrotovog skupa prečnika oko 20 miliona kilometara.

Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg
Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg
I
Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg
II
Mandel zoom 03 seehorse.jpg
III
Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg
IV
Mandel zoom 05 tail part.jpg
V
Mandel zoom 06 double hook.jpg
VI
Mandel zoom 07 satellite.jpg
VII
Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg
VIII
Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg
IX
Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg
X
Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg
XI
Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg
XII
Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg
XII
Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg
XIV

Varijacije[уреди]

Multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vidi još[уреди]

Reference[уреди]

  1. ^ „Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary”. Приступљено 07. 10. 2007. 
  2. ^ R.P. Taylor & J.C. Sprott (2008). „Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers” (pdf). Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1. Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences. Приступљено 01. 1. 2009. 
  3. ^ Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  4. ^ Lei (1990). „Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets”. Communications in Mathematical Physics. 134: 587—617. Bibcode:1990CMaPh.134..587L. doi:10.1007/bf02098448. 
  5. ^ Milnor, J. (1989). „Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set”. Ур.: M. C. Tangora. Computers in Geometry and Topology. New York: Taylor & Francis. стр. 211—257. )

Literatura[уреди]

Spoljašnje veze[уреди]