Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, izvodima, integralima, limesima i beskonačnim nizovima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize.

Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom.

Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže „calculus infinitesimalis" i iz toga je proizašao naziv „kalkulus", koji se koristi u jednom delu sveta. Reč „infinitesimalis" znači "beskrajno mala veličina".

Istorija

Isak Njutn

Gotfrid Vilhelm Lajbnic

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu zarubljene piramide. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu iscrpljivanja kojom se površina nekog oblika izračunava tako što se u njega ubacuje niz mnogouglova čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu koja će kasnije biti nazvana Kavalijerijev princip za zapreminu lopte.

Godine 499. indijski matematičar Ariabhata I. je računao infinitezimalanim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine je u 12. veku Bhaskara razvio neku vrstu izvoda. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam je osmislio formulu za sve vrste četvrtih stepena i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku persijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnog računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, izvoda (derivacije) i aproksimacija polinomnih nizova. Njihov rad nastavili su matematičari Ogisten Luj Koši, Bernhard Riman, Karl Vajerštras, Henri Lion Lebesk i dr.

Glavna poglavlja

Izvod

Izvod (derivacija) funkcije $f$ je granična vrednost koeficijenta porasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

Integral

Za datu funkciju f(x) realne promenljive x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

predstavlja površinu područja u ravni xy ograničenog grafom od f, x-osom i vertikalnim crtama x=a i x=b.

Limes

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema kako izračunati vrednost funkcije u slučajevima kada funkcija nije dobro definisana, npr. deljenje nulom. Limes funkcije f u tački a je broj kome se pridružuje funkcijska vrednost f(x), kada vrednost x teži a.

$\lim _{x\to a}f(x)$

npr.

$\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}\ =1$

Svojstva limesa

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}$

Literatura

Dodatna literatura

• Larson, Ron, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), "Calculus", 11th ed., Addison-Wesley. ISBN 0-321-48987-X
• Courant, Richard ISBN 978-3-540-65058-4 Introduction to calculus and analysis 1.
• Edmund Landau. ISBN 0-8218-2830-4 Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society.
• Robert A. Adams. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.
• Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
• John Lane Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
• Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1–46.
• Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004.
• Cliff Pickover. (2003). ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
• Michael Spivak. (September 1994). ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
• Tom M. Apostol. (1967). ISBN 978-0-471-00005-1 Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
• Tom M. Apostol. (1969). ISBN 978-0-471-00007-5 Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
• Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998). ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
• Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
• Thomas/Finney. (1996). ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
• Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

Onlajn knjige

• Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
• Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
• Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus", Приступљено 6. 5. 2007. from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
• Keisler, H. J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals", Приступљено 29. 8. 2010. from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
• Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus"., Приступљено 17. 3. 2009. from http://synechism.org/drupal/de2de/
• Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
• Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology., Приступљено 6. 5. 2007. from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
• Smith, William V. (2001). "The Calculus", Приступљено 4. 7. 2008. [1] (HTML only).