Тачка (геометрија)

Тачка је један од основних појмова геометрије којим се означава бесконачно мали објекат без дужине или запремине. Да би се тачка дефинисала, потребно је знати само њено место у простору, а она сама се сматра основним елементом од кога је простор сачињен. Представља место пресека било које две линије у равни.Праве и дужи су непрекидни скупови тачака (сходно томе, место где се секу две праве је тачка), раван непрекидан скуп правих итд. По конвенцији, имена тачака су велика слова латинице, а на цртежима се обележавају малим круговима поред којих се ова имена уписују.

More specifically, in Euclidean geometry, a point is a primitive notion upon which the geometry is built, meaning that a point cannot be defined in terms of previously defined objects. That is, a point is defined only by some properties, called axioms, that it must satisfy. In particular, the geometric points do not have any length, area, volume or any other dimensional attribute. A common interpretation is that the concept of a point is meant to capture the notion of a unique location in Euclidean space.

Тачке у Еуклидовој геометрији

Коначан скуп тачака (плава) у 2Д Еуклидском простору.

Тачка у еуклидовој геометрији нема величину, правац, смер, нити било коју другу особину сем положаја. На почетку I књиге Еуклидових Елемената стоје следеће дефиниције:

Дефиниција 1

Тачка је оно што нема делова.

Дефиниција 3

Крајеви линије су тачке.

У тражењу примата линије и тачке, Еуклид наводи да је тачка основна, а линија је оно што садржи тачке, док Аристотел радије узима линију за основу, а тачка је оно што је на крајевима линије.

Међутим постоје различити преводи и интерпретације Еуклидове дефиниције, међу којима и следеће: „Тачка је оно што нема пружање“ као најбољи превод, али недовољно јасан данашњем читаоцу оригиналне реченице

ά Σημετόν έστιν, οϋ μέρος ούθέν

Дефиниција „Тачка је оно што нема меру“ не би била добра јер тачка има свој положај, а то јесте некаква мера дужине (удаљеност од неке референтне тачке).

У данашњем језику је најприсутнија и терминологији најближа следећа дефиниција, у смислу интерпретације Еуклида

„Тачка је оно што нема димензије“.

Tačke, posmatrane u okviru Euklidske geometrije, su jedan od najtemeljnijih objekata. Euklid je prvobitno definirao tačke kao "ono što nema dijela". U dvodimenzionalnom Euklidskom prostoru, tačka je predstavljena uređenim parom (x, y) brojeva, gdje prvi broj konvencionalno predstavlja horizontalu i često se označava x, a drugi broj konvencionalno predstavlja vertikalu i često se označava y. Ova ideja je lahko generalizirana za trodimenzionalni Euklidski prostor, gdje je tačka predstavljena kao uređena trojka (x, y, z) sa dodatnim trećim brojem koji označava dubinu i često se označava z. Daljne generalizacije su predstavljene kao uređeni tuplet n uvjeta, (a₁, a₂, … , a_n), gdje je n dimenzija prostora u kojem se tačka nalazi.

Mnoge konstrukcije unutar euklidske geometrije sastoje se od neograničene kolekcije tačaka koje su u skladu sa određenim aksiomima. To se obično predstavlja skupom tačaka; Kao primjer, linija je neograničen skup tačaka oblika $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$, gdje su c₁ kroz c_n i d konstante i n je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koje definiraju ravan, linijski segment i ostale slične koncepte. Usput, degenerisani linijski segment se sastoji od jedne tačke.

U dodatku sa definisanjem tačaka i oblika vezanih za tačke, Euklid je također uzeo kao istinito ključnu ideju o tačkama; tvrdio je da bilo koje dvije tačke mogu biti povezane pravcem. Ovo se lahko potvrđuje pod modernom ekspanzijom Euklidske geometrije, te ima trajne posljedice na svom predstavljanju, dopuštajući konstrukciju skoro svih geometrijskih koncepata vremena. Ipak, Euclidovi postulati tačaka nisu ni kompletni niti definitivni, jer je povremeno pretpostavljao činjenice o tačkama koje nisu slijedile direktno iz njegovih aksioma, poput redanja tačaka na liniju ili postojanje posebnih tačaka. Unatoč tome, moderne ekspanzije sistema služe za uklanjanje ovih pretpostavki.

Димензија тачке

Постоји неколико нееквивалентних дефиниција димензије у математици. У свим општим дефиницијама, тачка је 0-димензионална.

Тачке у Картезијанској геометрији

Локација тачке у простору може бити описана са три реална броја који представљају координате у тродимензионалном простору. На пример:

P = (2,6,9).

На овај начин тачка се може описати и у вишедимензионалном простору. Опис тачке је сличан опису вектора који такође може да постоји у вишедимензионалном простору. Разлика између вектора и тачке је у томе што вектор има и правац и дужину, зато се подразумева да је почетна тачка вектора (0,0,0).

Тачка у простору димензије 2 или веће

Свака тачка која припада простору димензије n се да представити са једном уређеном n-торком скалара, који припадају пољу скалара над којим је изграђен простор а представљају њене координате у том простору. Тако би на пример тачка P из Eⁿ била представљена као P=(P₁,P₂,...,P_n) при чему су P_i из E, i=1,..,n.

Растојање између две тачке

Растојање између две тачке из простора Eⁿ се у еуклидовој геометрији дефинише као збир квадрата разлика њихових координата. На пример:

$A=(A_{1},\dots ,A_{n}),B=(B_{1},\dots ,B_{n})\in E^{n}$

$d(A,B)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(A_{i}-B_{i})}^{2}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}$

Димензија векторског простора

Главни чланак: Димензија векторског простора

Димензија векторског простора је максимална величина линеарно независног подскупа. U vektorskom prostoru koji se sastoji od jedne tačke (koja ne smije biti nulti vektor 0), ne postoji linearno nezavisan podskup. Nulti vektor nije po sebi linearno nezavisan, jer postoji netrivijalna linearna kombinacija koja ga čini nulom: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Topološka dimenzija

Topološka dimezija topološkog prostora X je definisana da bude minimalne vrijednosti n, takva da je svaki ograničeni otvoreni interval ${\mathcal {A}}$ od X priznaje ograničen otvoreni interval ${\mathcal {B}}$ od X koji rafinira ${\mathcal {A}}$ u kojem se tačka ne nalazi u više od n+1 elemenata. Ako takav najmanji n ne postoji, za prostor se kaže da je od beskonačno-pokrivene dimenzije.

Тачка је нулте димензије са поштовањем покривености димензије, јер сваки отворени интервал простора има рафинирање које се састоји од једног отвореног скупа.

Хаусдорфова димензија

Нека је X метрички простор. Ако је S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), д-димензионални Хаусдорфов садржај од S je infimum skupa brojeva za δ ≥ 0 takvih da postoji neka (indeksirana) kolekcija loptica $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ koje pokrivaju S sa r_i > 0 za svaki i ∈ I koji zadovoljava $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$.

Хаусдорфова димензија X је дефинисана са

$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$

Тачка има Хаусдорфову димензију 0, јер може бити покривена само једном лоптом произвољно малог радијуса.

Геометрија без тачака

Иако је идеја тачке генерално сматрана темељем у стандардној геометрији и топологији, постоје неки системи који су је заборавили, нпр. некомутативна геометрија и топологија без тачке. Бесмислени и без-тачке простор није дефинисан као скуп, него преко неке структуре (алгебарске или логичне респективно), што изгледа као добро позната функција простора у скупу: алгебра непрекидних функција или алгебра скупова респективно. Прецизније, такве структуре генерализирају добро познате просторе функција у смислу да операција „узима вредност на овој тачки” може да не буде дефинисана. Даља традиција почиње из неких књига аутора А. Н. Вајтхед у којима је појам регије претпостављен као примитив заједно са оним из инклузије или конекције.

Маса тачака и Диракова делта функција

Главни чланак: Диракова делта функција

Често у физици и математици, корисно је замишљати као да има ненулту масу или набој (ово је посебно често у електромагнетизму, где су електрони идеализовани као тачке са ненултим набојем). Диракова делта функција, или δ функција, јесте (неформално) генерализована функција реалне бројне линије која је нула свуда осим у нули, са интегралом једног на целој реалној линији. Делта функција се понекад сматра као бесконачно висока, бесконачно танак шпиц на извору, са укупном површином један испод шпица, те физикално представља идеализирану тачкасту масу или тачкасти набој. Први пут је објављена од стране теоретског физичара Пола Дирака. У контексту обраде сигнала често се означава као јединични импулсни симбол (или функција). Њен дискретни аналог је Кронекер делта функција која се често дефинише на ограниченом домену и узима вредности 0 и 1.

Напомене

• ^ Антон Билимовић, Еуклидови Елементи, Прва књига, САНУ, 1949

Литература

• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
• Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
• Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
• Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.
• Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, MR 0345092 
• Munkres, James R. (2000). Topology (2nd изд.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
• A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
• Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3 
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd изд.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12. 6. 2003). „Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation”. Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 72. стр. 305—347. Bibcode:2003math......5399D. ISBN 9780821836378. S2CID 119613948. arXiv:math/0305399 . doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1948). Dimension Theory. Princeton University Press. 
• E. Szpilrajn (1937). „La dimension et la mesure”. Fundamenta Mathematicae. 28: 81—9. 
• Marstrand, J. M. (1954). „The dimension of cartesian product sets”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198—202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236. 
• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8. 
• Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th изд.), Boston, Massachusetts: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0 
• Dirac, Paul (1930), The Principles of Quantum Mechanics (1st изд.), Oxford University Press .

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. „Point”. MathWorld. 
• Definition of Point with interactive applet
• Points definition pages, with interactive animations that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare