Metrički prostor

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije

U matematici, metrički prostor je skup na kome je definisan pojam razdaljine (metrika) između elemenata skupa. Metrički prostor koji najviše odgovara našem poimanju prostora je 3-dimenzioni euklidski prostor. Euklidska metrika ovog prostora definiše razdaljinu između dve tačke kao dužinu prave linije koja ih spaja. Geometrija prostora zavisi od izabrane metrike, i korišćenjem neke druge metrike možemo da konstruišemo interesantne neeuklidske geometrije poput onih koje se koriste u opštoj teoriji relativnosti.

Metrički prostor indukuje topološka svojstva poput otvornih i zatvorenih skupova koja vode u izučavanje još apstraktnijih topoloških prostora.

Sadržaj 1 Istorija 2 Definicija 2.1 Metrički prostori kao topološki prostori 3 Primeri metričkih prostora

[uredi] Istorija

Moris Freše je uveo metrička polja u svom radu Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74.

[uredi] Definicija

Metrički prostor je par (M, d) gde je M skup a d je metrika na M, to jest funkcija

takva da

1. d(x, y) ≥ 0     (nenegativnost)
2. d(x, y) = 0   ako i samo ako   x = y
3. d(x, y) = d(y, x)     (simetrija)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (nejednakost trougla).

Funkcija d se takođe naziva funkcijom razdaljine ili prosto razdaljinom. Često se d izostavlja, i piše se samo M za metrički prostor ako je iz konteksta jasno koja metrika se koristi. Uklanjanje jednog ili više od gore navedenih uslova daje pseudometrički prostor, kvazimetrički prostor, hemimetrički prostor, semimetrički prostor ili najopštije prametrički prostor.

Prvi od ova četiri uslova u stvari sledi iz ostala tri, jer:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

Ispravnije je reći da je ovo svojstvo metričkog prostora, ali je u mnogim udžbenicima uključeno u definiciju.

Neke definicije zahtevaju da M bude neprazan skup.

[uredi] Metrički prostori kao topološki prostori

Posmatranje metričkog prostora kao topološkog prostora je toliko konzistentno da se radi gotovo o delu definicije.

Oko bilo koje tačke x} у метричком простору -{M definišemo otvorenu kuglu poluprečnika r (>0) oko x kao skup

B(x; r) = {y in M : d(x,y) < r}.

Ove otvorene kugle generišu topologiju na M, što ga čini topološkim prostorom. Eksplicitno, podskup od M se naziva otvorenim ako je unija (konačno ili beskonačno mnogo) otvorenih kugli. Komplement otvorenog skupa se naziva zatvorenim.

Kako su metrički prostori topološki prostori, javlja se pojam neprekidne funkcije između metričkih prostora. Ova definicija je ekvivalentna uobičajenoj epsilon-delta definiciji neprekidnosti (koja se ne odnosi na topologiju), i takođe se može direktno definisati pomoću limesa nizova.

[uredi] Primeri metričkih prostora

• Realni brojevi sa funkcijom razdaljine y − x| date apsolutnom vrednošću, i opštije euklidski n-prostor sa euklidskom razdaljinom, su kompletni metrički prostori.
• Racionalni brojevi sa istom funkcijom razdaljine takođe čine metrički prostor, ali on nije kompletan.
• Hiperbolički prostor.
• Svaki normirani vektorski prostor je metrički prostor definisanjem |y − x|| (Ako je takav prostor kompletan, onda se zove Banahov prostor).
• Diskretna metrika, gde je d(x,y)=1 za sve x različite od y i d(x,y)=0 u suprotnom, je prost ali važan primer, i može se primeniti na sve neprazne skupove. Ovo takođe pokazuje da se sa svakim nepraznim skupom može povezati metrički prostor.
• Levenštajnovo rastojanje, (edit rastojanje) je mera različitosti između dve niske u i v. Rastojanje je minimalni broj brisanja, umetanja i zamene karaktera, neophodnih da bi se niska u transformisala u nisku v.
• Ako je M povezana Rimanova mnogostrukost, onda možemo da pretrovimo M u metrički prostor definisanjem razdaljine između dve tačke kao infinum dužina putanja (neprekidno diferencijabilnih krivih) koje ih povezuju.
• Ako je G neusmeren povezan graf, tada skup čvorova V iz G može da se pretvori u metrički prostor definisanjem d(x, y) kao dužine najkraćeg puta koji povezuje čvorove x i y.
• Ako je data injektivna funkcija f iz bilo kog skupa A u metrički prostor (X,d), d(f(x), f(y)) definiše metriku na A.
• Skup svih n sa m} матрица над коначним пољем је метрички простор у односу на ранг дистанцу -{d(X,Y) = rang(Y-X).