Funkcija greške

Grafik funkcije greške

U matematici, funkcija greške (takođe poznata i kao Gausova funkcija greške) je neelementarna funkcija koja se javlja u verovatnoći, statistici, i parcijalnim diferencijalnim jednačinama.

Definiše se kao:

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.$

Komplementarna funkcija greške, koja se označava kao erfc, je definisana preko funkcije greške:

${\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.$

Kompleksna funkcija greške, označena kao w(x), (poznata i kao Fadeeva funkcija) je takođe definisana preko funkcije greške:

$w(x)=e^{-x^{2}}{\textrm {erfc}}(-ix).\,\!$

Svojstva

Funkcija greške je neparna funkcija:

$\operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x).$

Za svaki kompleksan broj x važi

$\operatorname {erf} ({\overline {x}})={\overline {\operatorname {erf} (x)}}$

gde je ${\overline {x}}$ konjugovano kompleksna vrednost $x$.

Integral se ne može izračunati u zatvorenoj formi elementarnih funkcija, ali razvojem podintegralnog dela u Tejlorov red, dobija se Tejlorov red funkcije greške kao:

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)$

koji važi za svaki realan broj $x$, i takođe za celu kompleksnu ravan. (Ovo proizilazi iz razvoja Tejlorovog reda $e^{-x^{2}}$, što je $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{n!}}$, koji potom integralimo član po član.)

Za iterativno izračunavanje gornjeg reda, sledeća alternativna formulacija može biti od koristi:

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}$

jer ${\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}$ pretvara činilac iz $i$-tog člana u $(i+1)$. član (pod pretpostavkom da prvi član označavamo kao $x$).

Funkcija greške u beskonačnosti ima vrednost 1 (pogledati Gausov integral).

Izvod funkcije greške sledi direktno iz njene definicije:

${\frac {d}{dx}}\,\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}.$

Inverzna funkcija greške ima red

$\operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},\,\!$

gde je c₀ = 1, a

$c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.$

Tako dobijamo razvoj reda (primetiti da su poništeni zajednički činioci iz imenioca i brojioca):

$\operatorname {erf} ^{-1}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\cdots \right).\,\!$

Vrednost funkcije greške u $\pm \infty$ je jednaka $\pm 1$.

Primene

Kada se rezultati više merenja opišu normalnom raspodelom sa standardnom devijacijom $\sigma$ i očekivanom vrednošću 0, onda je $\operatorname {erf} \,\left(\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\,\right)$ verovatnoća da greška jednog merenja leži između $-a$ i $+a$.

U digitalnim optičkim telekomunikacijama, odnos bit-greška se izražava kao:

$\mathrm {BER} =0.5\,\operatorname {erf} \left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{{\sqrt {2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{2}\right)}}\right).$

Asimptototski razvoj

Korisni asimptotski razvoj komplementarne funkcije greške (a samim tim i funkcije greške) za veliko x je

$\mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.\,$

Ovaj red divergira za svako konačno x. Praktično, samo prvih par članova ovog razvoja je potrebno da se izračuna dobra aproksimacija erfc(x), dok Tejlorov red dat iznad konvergira jako sporo.

Još jedna aproksimacija je data sa

$(\operatorname {erf} (x))^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)$

gde je

$a={\frac {-8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{\pi -4}}.$

Srodne funkcije

Funkcija greške je suštinski identična standardnoj normalnoj kumulativnoj funkciji raspodele, označenoj kao Φ, jer se one razlikuju samo po skaliranju i translaciji:

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,.$

Generalizovana funkcija greške

Grafik generalizovane funkcije greške ${\textstyle E_{1}(x)}$:
siva kriva: ${\textstyle E_{1}(x)=(1-e^{-x})/{\sqrt {\pi }}}$
crvena kriva: ${\textstyle E_{2}(x)=\operatorname {erf} (x)}$
zelena kriva: ${\textstyle E_{3}(x)}$
plava kriva: ${\textstyle E_{4}(x)}$
zlatna kriva: ${\textstyle E_{5}(x)}$.

Neki autori raspravljaju o opštijoj funkciji

$E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.$

Slučajevi vredni pomena su:

• E₀(x) je prava linija definisana kao: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}$
• E₂(x) je funkcija greške, erf(x).

Posle deljenja sa n!, sve E_n za neparno n izgledaju slično (ali ne i identično) jedna drugoj. Slično tome, E_n za parno n izgledaju slično (ali ne i identično) jedna drugoj posle prostog deljenja sa n!. Sve generalizovane funkcije greške za n>0 izgledaju slično za pozitivne vrednosti x na grafiku.

Ove generalizovane funkcije se za x>0 mogu ekvivalentno predstaviti koristeći Gama funkciju:

$E_{n}(x)={\frac {x\left(x^{n}\right)^{-1/n}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0$

Prema ovome, možemo definisati funkciju greške preko Gama funkcije:

$\operatorname {erf} (x)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}$

Iterativni integrali komplementarne funkcije greške

Iterativni integrali komplementarne funkcije greške su definisani preko:

$\mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta .\,$

One imaju stepeni red:

$\mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,$

iz koga slede svojstva simetričnosti

$\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}$

i

$\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.$

Implementacija

C/C++: Implementirana je kao funkcija double erf(double x) i double erfc(double x) u zaglavlju math.h ili cmath u GNU verziji. Ovo nije deo standarda i zavisi od implementacione biblioteke. Parovi funkcija {erff(),erfcf()} i {erfl(),erfcl()} uzimaju i vraćaju tipove float i long double.

Vidi još

• Gausova funkcija

Spoljašnje veze

• MathWorld - Erf