Пређи на садржај

Теодорова спирала

С Википедије, слободне енциклопедије
Теодорова спирала до троугла са хипотенузом од

У геометрији, Теодорова спирала (која се назива и спирала квадратног корена, Ајнштајнова спирала, Питагорина спирала или Питагорин пуж)[1] је спирала састављена од правоуглих троуглова, постављених од ивице до ивице. Добила је име по Теодору из Кирене.

Конструкција

[уреди | уреди извор]

Спирала почиње са једнакокраким правоуглим троуглом, при чему сваки крак има јединичну дужину . Формира се још један правоугли троугао, аутомедијални правоугли троугао са једним краком који је хипотенуза претходног троугла (са дужином квадратним кореном од 2 ), а други крак има дужину од 1; дужина хипотенузе овог другог троугла је квадратни корен од 3 . Процес се затим понавља; троугао у низу је правоугли троугао са дужинама страница и 1, и са хипотенузом . На пример, 16. троугао има странице које се мере , 1 и хипотенуза од .

Историја и употреба

[уреди | уреди извор]

Иако је сав Теодоров рад изгубљен, Платон је Теодора ставио у свој дијалог Тетет, који говори о његовом делу. Претпоставља се да је Теодор Теодорове спирале доказао да су сви квадратни корени неквадратних целих бројева од 3 до 17 ирационални.

Платон не приписује Теодору ирационалност квадратног корена из 2, јер је то било добро познато пре њега. Теодор и Тетет су поделили рационалне и ирационалне бројеве у различите категорије.

Хипотенуза

[уреди | уреди извор]

Хипотенузе сваке од троуглова даје квадратни корен одговарајућег природног броја, са .

Платон, кога је Теодор подучавао, питао се зашто се Теодор зауставио . Обично се верује да је разлог то што хипотенуза припада последњем троуглу који не преклапа фигуру.

Преклапање

[уреди | уреди извор]

Године 1958. Калеб Вилијамс је доказао да се две хипотенузе никада неће поклопити, без обзира на то колико се спирала наставља. Такође, ако су странице јединичне дужине продужене у праву, оне никада неће проћи ни кроз један од других врхова укупне фигуре.

Продужетак

[уреди | уреди извор]
Обојена продужена Теодорова спирала са 110 троуглова

Теодор је зауставио спиралу у троуглу са хипотенузом од . Ако се спирала настави на бесконачно много троуглова, наћи ће се много интересантнијих карактеристика.

Брзина раста

[уреди | уреди извор]
Троугао или део спирале

Ако је угао троугао (или спирални сегмент), онда:

Дакле, раст угла следећег троугла је: Збир углова првог троуглова се назива укупни угао за тх троугао. Расте пропорционално квадратном корену од , са ограниченим термином корекције :[1]где

Полупречник

[уреди | уреди извор]

Раст полупречника спирале у одређеном троуглу је

Архимедова спирала

[уреди | уреди извор]

Теодорова спирала се приближава Архимедовој спирали.[1] Као што је растојање између два намотаја Архимедове спирале једнако математичкој константи , како се број окрета Теодорове спирале приближава бесконачности, растојање између два узастопна намотаја се брзо приближава . Следи табела која приказује два намотаја спирале која се приближавају пи:

Број намотаја: Израчунато просечно растојање намотаја Тачност просечне удаљености намотаја у поређењу са π
2 3.1592037 99,44255%
3 3.1443455 99,91245%
4 3.14428 99,91453%
5 3.142395 99,97447%

Као што је приказано, након само петог намотаја, удаљеност је 99,97% тачна апроксимација .[1]

Непрекидна крива

[уреди | уреди извор]
Дејвисов аналитички наставак Теодорове спирале, укључујући проширење у супротном смеру од почетка (негативни бројеви чворова).

Питање како интерполирати дискретне тачке Теодорове спирале глатком кривом предложено је и на које је одговорено Davis 2001 по аналогији са Ојлеровом формулом за гама функцију као интерполантом за факторијалну функцију. Давис је пронашао функцијукоју су даље проучавали његов ученик Лидер и Изерлес (у додатку Davis 2001). Аксиоматска карактеризација ове функције је дата у Gronau 2004 као јединствене функције која задовољава функционалну једначинупочетно стање и монотоност и аргумента и модула; алтернативни услови и слабљења се такође проучавају у њему. Алтернативни извод је дат у Heuvers, Moak & Boursaw 2000.

Аналитички наставак Дејвисовог континуираног облика Теодорове спирале који се протеже у супротном смеру од почетка дат је у Waldvogel 2009. На слици су чворови оригиналне (дискретне) Теодорове спирале приказани као мали зелени кругови. Плави су они, додани у супротном смеру од спирале. Само чворови са целобројном вредношћу поларног радијуса су нумерисани на слици. Испрекидани круг у координатном почетку је круг закривљености на .

Референце

[уреди | уреди извор]

Додатна литература

[уреди | уреди извор]