Корен из 3

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Списак природних бројева | Ирационалан број
Бинарни систем 1.10111011011001111010
Децимални систем 1.7320508075688772935…
Хексадецимални систем 1.BB67AE8584CAA73B
Верижни разломак

Квадратни корен из 3 је позитиван реалан број који, када се множи са собом, даје број 3 . Тачније се назива главни квадратни корен из 3, да би се разликовао од негативног броја са истим својством. Означен је са 3 .

Квадратни корен из 3 је ирационалан број . Познат је и као Теодорова константа, названа по Теодору из Цирене, која је доказала своју ирационалност.

Првих шездесет цифара његовог децималног проширења су:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (секвенца A002194 у OEIS)

Од децембра 2013. године, њена бројчана вредност у децималним бројевима израчуната је на најмање десет милијарди цифара. [1]

Разломак 97/56 (1,732,142,857 ...) за квадратни корен од три се може користити као приближна вредност. Упркос томе што има именилац од само 56, разликује се од правилне вредности за мање од 1/10,000 (приближно 9,2×10−5). Заокружена вредност од 1.732 је тачна до 0,01% од стварне вредности.

Архимед пријавио (1351/780)2
> 3 > (265/153)2
,[2] тачно до 1/608400 (шест децималних места) и 2/23409 (четири децимале), респективно.

Може се изразити као верижни разломак [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (низ А040001 у Енциклопедија низова целих бројева на мрежи), проширен са десне стране. Тako да је тачно рећи:

онда када :

Може се изразити преко генерализованог верижног разломака као што су

што је [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] оцењено на сваком другом термину.

Следећи угнеждени низ квадратних израза конвергирају ка 3 :

Доказ ирационалности[уреди | уреди извор]

Овај доказ ирационалност за 3 користи Пјер де Фермаову методу бесконачног порекла :

Претпоставимо да је 3 рационалан и изразите га на најнижи могући начин (тј. као потпуно смањени разломак ) као m/n за природне бројеве m и n .

Стога ће множење са 1 дати једнак израз:

где је q највећи цели број мањи од 3 . Имајте на уму да су и бројилац и именилац помножени са бројем мањим од 1.

Помоћу овога и множењем и бројиоца и именилаца добијамо:

Слиједи да се m може замијенити са 3n :

Затим се 3 такође може заменити са m/n у називнику:

Квадрат 3 се може заменити са 3. Како се m/n множи са n, њихов производ једнак је m :

Тада се 3 може изразити нижим изразима од m/n (пошто је први корак смањио величине од бројиоца и имениоца, а следећи кораци их нису променили) као 3nmq/mnq, што је супротност хипотези да је m/n најнижи. [3]

Алтернативни доказ за то је претпоставка да је 3 = m/n са m/n потпуно смањени разломак :

Множавање са n обе стране, а затим квадрирањем даје

Пошто је лева страна дељива са 3, тако је и десна страна, захтевајући да m буде дељив са 3. Тада се m може изразити као 3k :

Стога, дељење обе стране са 3 даје:

Како је десна страна дељива са 3, тако је и лева страна, па је и n . Дакле, како су и n и m дељиви са 3, они имају заједнички делилац и m/n није потпуно смањени раѕломак, супротстављена изворној премиси.

Геометрија и тригонометрија[уреди | уреди извор]

Висина јендакостраничног троугла са ивицом дужине 2 је 3. (Еквивалентно са дужом катетом од 30-60-90 троугла са хипотенузом од 2.)
Дијагонала јединичне коцке је 3 .
Ова пројекција Билинског додекаедра је ромб са дијагоналним односом од 3 .

Квадратни корен од 3 се може наћи као дужина хипотенузе једнакостраничног троугла који обухвата круг пречника 1.

Ако је једнакостранични троугао са странама дужине 1 подељен на два једнака дела, дељењем унутрашњег угла како би направили прав угао са једном страном, прав угла троуглове хипотенузе је дужина један и стране су дужине 1/2 и 3/2. Из овога је тригонометријска функција тангенте од 60° једнака 3 и синус од 60° и косинус 30° и једнаке 3/2.

Квадратни корен од 3 се такође појављује у алгебарским изразима за разне друге тригонометријске константе, укључујући [4] синус од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, и 87°.

То је растојање између паралелних страна правилног шестоугла са страницама дужине 1. На комплексној равни, то растојање се изражава као i3 поменуто у наставку.

То је дужина дијагонале јединичне коцке .

Весица писцис има однос главне осе до мање осе једнак 1: 3, што се може показати конструкцијом два једнакостранична троугла у себи.

Квадратни корен од −3[уреди | уреди извор]

Множењем 3 помоћу имагинарне јединице даје квадратни корен -3, који је имагинарни број . Тачније,

(види квадратни корен негативних бројева ). То је Ајзенштајнов цео број . Наиме, изражава се као разлика два нереална кубна корена од 1 (који су Ајзенштајнови цели бројеви).

Друге намене[уреди | уреди извор]

Енергетика[уреди | уреди извор]

У електроенергетици, напон између две фазе у трофазном систему је једнака 3 пута линији неутралног напона. То је зато што било које два фазе су 120° размакнуте, и две тачке на кругу од 120 степени су раздвојене 3 пута полупречника (види примере геометријe горе).

Такође видети[уреди | уреди извор]

Напомене[уреди | уреди извор]

  1. ^ Łukasz Komsta. „Computations | Łukasz Komsta”. komsta.net. Приступљено 24. 9. 2016. 
  2. ^ Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation”, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115—140, JSTOR 41133444, MR 0497462, doi:10.1007/bf00348496 .
  3. ^ Grant, M.; Perella, M. (јул 1999). „Descending to the irrational”. Mathematical Gazette. 83 (497): 263—267. doi:10.2307/3619054. 
  4. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

Референце[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]