Teodorova spirala
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Spiral_of_Theodorus.svg/400px-Spiral_of_Theodorus.svg.png)
U geometriji, Teodorova spirala (koja se naziva i spirala kvadratnog korena, Ajnštajnova spirala, Pitagorina spirala ili Pitagorin puž)[1] je spirala sastavljena od pravouglih trouglova, postavljenih od ivice do ivice. Dobila je ime po Teodoru iz Kirene.
Konstrukcija
[uredi | uredi izvor]Spirala počinje sa jednakokrakim pravouglim trouglom, pri čemu svaki krak ima jediničnu dužinu . Formira se još jedan pravougli trougao, automedijalni pravougli trougao sa jednim krakom koji je hipotenuza prethodnog trougla (sa dužinom kvadratnim korenom od 2 ), a drugi krak ima dužinu od 1; dužina hipotenuze ovog drugog trougla je kvadratni koren od 3 . Proces se zatim ponavlja; trougao u nizu je pravougli trougao sa dužinama stranica i 1, i sa hipotenuzom . Na primer, 16. trougao ima stranice koje se mere , 1 i hipotenuza od .
Istorija i upotreba
[uredi | uredi izvor]Iako je sav Teodorov rad izgubljen, Platon je Teodora stavio u svoj dijalog Tetet, koji govori o njegovom delu. Pretpostavlja se da je Teodor Teodorove spirale dokazao da su svi kvadratni koreni nekvadratnih celih brojeva od 3 do 17 iracionalni.
Platon ne pripisuje Teodoru iracionalnost kvadratnog korena iz 2, jer je to bilo dobro poznato pre njega. Teodor i Tetet su podelili racionalne i iracionalne brojeve u različite kategorije.
Hipotenuza
[uredi | uredi izvor]Hipotenuze svake od trouglova daje kvadratni koren odgovarajućeg prirodnog broja, sa .
Platon, koga je Teodor podučavao, pitao se zašto se Teodor zaustavio . Obično se veruje da je razlog to što hipotenuza pripada poslednjem trouglu koji ne preklapa figuru.
Preklapanje
[uredi | uredi izvor]Godine 1958. Kaleb Vilijams je dokazao da se dve hipotenuze nikada neće poklopiti, bez obzira na to koliko se spirala nastavlja. Takođe, ako su stranice jedinične dužine produžene u pravu, one nikada neće proći ni kroz jedan od drugih vrhova ukupne figure.
Produžetak
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Spiral_of_Theodorus_extended.svg/220px-Spiral_of_Theodorus_extended.svg.png)
Teodor je zaustavio spiralu u trouglu sa hipotenuzom od . Ako se spirala nastavi na beskonačno mnogo trouglova, naći će se mnogo interesantnijih karakteristika.
Brzina rasta
[uredi | uredi izvor]Ugao
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Spiral_of_Theodorus_triangle.svg/220px-Spiral_of_Theodorus_triangle.svg.png)
Ako je ugao trougao (ili spiralni segment), onda:
Dakle, rast ugla sledećeg trougla je: Zbir uglova prvog trouglova se naziva ukupni ugao za th trougao. Raste proporcionalno kvadratnom korenu od , sa ograničenim terminom korekcije :[1]gde
Poluprečnik
[uredi | uredi izvor]Rast poluprečnika spirale u određenom trouglu je
Arhimedova spirala
[uredi | uredi izvor]Teodorova spirala se približava Arhimedovoj spirali.[1] Kao što je rastojanje između dva namotaja Arhimedove spirale jednako matematičkoj konstanti , kako se broj okreta Teodorove spirale približava beskonačnosti, rastojanje između dva uzastopna namotaja se brzo približava . Sledi tabela koja prikazuje dva namotaja spirale koja se približavaju pi:
Broj namotaja: | Izračunato prosečno rastojanje namotaja | Tačnost prosečne udaljenosti namotaja u poređenju sa π |
---|---|---|
2 | 3.1592037 | 99,44255% |
3 | 3.1443455 | 99,91245% |
4 | 3.14428 | 99,91453% |
5 | 3.142395 | 99,97447% |
Kao što je prikazano, nakon samo petog namotaja, udaljenost je 99,97% tačna aproksimacija .[1]
Neprekidna kriva
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Theodorus_Wiki.svg/400px-Theodorus_Wiki.svg.png)
Pitanje kako interpolirati diskretne tačke Teodorove spirale glatkom krivom predloženo je i na koje je odgovoreno Davis 2001 po analogiji sa Ojlerovom formulom za gama funkciju kao interpolantom za faktorijalnu funkciju. Davis je pronašao funkcijukoju su dalje proučavali njegov učenik Lider i Izerles (u dodatku Davis 2001). Aksiomatska karakterizacija ove funkcije je data u Gronau 2004 kao jedinstvene funkcije koja zadovoljava funkcionalnu jednačinupočetno stanje i monotonost i argumenta i modula; alternativni uslovi i slabljenja se takođe proučavaju u njemu. Alternativni izvod je dat u Heuvers, Moak & Boursaw 2000.
Analitički nastavak Dejvisovog kontinuiranog oblika Teodorove spirale koji se proteže u suprotnom smeru od početka dat je u Waldvogel 2009. Na slici su čvorovi originalne (diskretne) Teodorove spirale prikazani kao mali zeleni krugovi. Plavi su oni, dodani u suprotnom smeru od spirale. Samo čvorovi sa celobrojnom vrednošću polarnog radijusa su numerisani na slici. Isprekidani krug u koordinatnom početku je krug zakrivljenosti na .
Vidi još
[uredi | uredi izvor]Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ a b v g Hahn, Harry K.; Schoenberger, Kay. „The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”. arxiv.
Dodatna literatura
[uredi | uredi izvor]- Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
- Gronau, Detlef (mart 2004), „The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230—237, JSTOR 4145130, doi:10.2307/4145130
- Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), „The functional equation of the square root spiral”, Ur.: T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, str. 111—117
- Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)