Квадратна формула

Квадратна функција са коренима x = 1 и x = 4

У елементарној алгебри, квадратна формула је решење квадратне једначине. Постоје јос начина решавања квадратне једначине уместо коришћења квадратне једначине попут: факторизације,допуне до потпуног квадрата,графиком функције.Корисћење квадратне формуле је углавном најпогоднији начин.

Генерална квадратна формула је:

$ax^{2}+bx+c=0\ \ .$

Овде x представља непознату, док су а ,б и ц константе где а није једнака 0.Може се проверити да ли квадратна формула задовољава квадратну једначину постављањем претходног у ново.Са овом параметризацијом изнад, квадратна формула је:

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \$$

Свако решење добијено од квадратне формуле се назива кореном квадратне једначине.Геометријски, ови корени представљају x вредности где било која парабола,експлицитно дата као y = аx² + бx + ц, сече x-осу. Поред тога што је формула која ће дати нуле било које параболе,квадратна формула ће дати и осу симетрију параболе и може се користити да се одмах утврди колико реалних нула има квадратна једначина.

Извођење формуле

Користећи методу „Допуна до потпуног квадрата”

Квадратна формула се може извести са једноставном применом „допуне до потпуног квадрата”. Два извођења су следећа :

Метода 1

Поделити квадратну једначину са ${a}$, што је дозвољено јер ${a}$ није нула.

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\ \ .}$

Одузети ${\frac {c}{a}}$ од обе стране једначине, тиме добијамо :

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\ \ .}$

Квадратна једначина је сада у форми где можемо применити допуну до потпуног квадрата. Дакле, додајте константу на обе стране једначине тако да лева страна постане потпун квадрат.

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\ \ ,}$

што производи :

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ \ .}$

Према томе, након прерасподеле термина са десне стране да би имали заједнички именилац, добијамо следеће :

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}$

Квадрат се тиме употпунио. Кореновањем обе стране добијамо следећу једначину :

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}\ \ .}$

Изоловањем броја x добијамо квадратну формулу :

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\ \ .}$

Симбол плус-минус „±” означава да су

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{ i }}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

обоје решења квадратне једначине. Постоје многе варијације овог извођења са малим разликама, у већини случајева је то коришћењем броја ${a}$.

Квадратна формула се може записати и као :

${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ \ ,}$

што се може поједноставити на :

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ \ .}$

Ова верзија формуле је корисна када се комплексни корени дозвољавају. Израз ван корена ће бити реалан део, док ће израз са квадратним кореном бити имагинаран део. Израз унутар корена је дискиминанта.

Неки извори, поготово старији, користе алтернативне параметризације квадратне једначине попут аx² − 2бx + ц = 0 или аx² + 2бx + ц = 0 , где ${b}$има вредност половине чешће. Ово доводи до мало различитијих форми решења, али су иначе једнаки.

Мање позната квадратна формула, коришћена у Мулеровој методи и која се може пронаћи у Виетовим формулама, даје исте корене преко једначине :

${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ \ .}$

Метода 2

Велики део књига о алгебри протеклих деценија уче о допуни до потпуног квадрата користећи претходну формулу : (1) Подели обе стране са ${a}$ , (2) Преуредити , (3) Затим додај $(b/2a)2$ на обе стране да би употпунили квадрат.

Као што је истакао Ларри Хоехн 1975. године, употпуњавање квадрата може се постићи различитим редоследом који води до једноставнијег низа тежих термина: (1) Помножи обе стране са $4a$, (2) Преуредити, (3) Затим додај $b^{2}$.

Другим речима, квадратна формула се може овако извести :

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}}$

Ово заправо представља веома старо извођење квадратне формуле и била је позната Хиндусима 1025. године. У поређењу са стандардним извођењем, ово извођење је краће, укључује мање калкулација са апсолутним коефицијентима, избегава разломке до последњег корака, има лакше изразе, и укључује лакшу математику. Као што Хоен тврди, " лакше је додати корен од $b'$него додати корен половине коефицијента $x$".

Велики број алтернативних извођења квадратне формуле се налазе у литератури. Ова извођења можда су једноставнија од стандардног употпуњавања квадрата и представљају интересантне користи других алгебарских техника или можда нуде увид у друге области математике.

Коришћењем замене

Једна техника је коришћење замене. У овој техници ми замењујемо $x=y+m$у квадратну формулу да добијемо :

${\displaystyle a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0\ \ .}$

Проширавањем и вађењем $y$ испред заграде добијамо :

${\displaystyle ay^{2}+y(2am+b)+\left(am^{2}+bm+c\right)=0\ \ .}$

Још нисмо увели други услов на $y$и $m$, зато сада бирамо $m$да би средишњи израз нестао. То би било $2am+b=0$ или ${m}={-b}/{2a}$. Одузимањем константан израз са обе стране једначине ( да би је померили на десну страну једначине ) а затим поделити са $a$нам даје :

${\displaystyle y^{2}={\frac {-\left(am^{2}+bm+c\right)}{a}}\ \ .}$

Замењивање са $m$даје :

${\displaystyle y^{2}={\frac {-\left({\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c\right)}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\ \ .}$

Тако да је :

$y=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

Заменом $x=y+m=y{-b}/{2a}$ нам даје квадратну формулу :

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .}$

Користећи алгебарске идентитете

Ову методу су користили разни математичари кроз историју:

Нека корени стандардне квадратне једначине буду р₁ и р₂. Извођење почиње поновним позивањем идентитета:

$(r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}.$

Кореновањем обе стране добијамо:

$r_{1}-r_{2}={\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}.$

Пошто је коефицијент а ≠ 0, можемо поделити стандардну једначину са а да би добили квадратни полином са истим коренима. Наиме,

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\ \ .$

Из овога се види да је збир корена стандардне квадратне једначине добијен преко −б/а, а производ преко ц/а. Стога се идентитет може преписати као:

$r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\ \ .$

Сада,

$r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Пошто је р₂ = −р₁ − б/а, ако узмемо да је

$r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

онда добијемо да је

$r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

а ако узмемо да је

$r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

онда добијемо да је

$r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Комбиновањем ових резултата користећи скраћеницу ±, добијемо да су решења квадратне једначине дата помоћу:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Користећи Лагранжове ресолвенте

Алтернативни начин извођења квадратних формула је преко Лагранжових ресолвената, који су рани део Галове теорије. Ова метода може бити генерализована ради добијања корена кубних полинома и функција четвртог степена и води до Галове теорије, која омогућава разумевање решења алгебарске једначине било ког степена у погледу група симетрија њихових корена, Галове групе. Овај приступ више се фокусира на корене него на преуређивање оригиналне једначине. Дат је квадратни полином

$x^{2}+px+q\ \ ,$

претпостави да је

$x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )\ \ ,$

Проширење се поништава

$x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \ \ ,$

где су п = −(α + β) и q = αβ.

Пошто редослед множења није битан, α и β се могу мењати, а да се вредности п и q не мењају: може се рећи да су п и q симетрични полиноми у α и β. Заправо, они су основни симетрични полиноми - било који симетрични полином у α и β може бити изражен преко α+β и αβ. Приступ Галове теорије анализирању и решавању полинома је: узимајући у обзир коефицијенте полинома, које су симетричне функиције у коренима, може ли се "сломити симетрија" и обновити корен? Тако је решавање полинома степена н повезано са начинима преуређивања ("пермутовања") н термина, који се назива симетрична група на н слова, и означава С_н. За квадратни полином, једини начин да се преуреде два термина је да се они замене ("транспонују"), и тако решавање квадратног полинома је једноставно.

Да би нашао корене α и β, узми у обзир њихов збир и разлику:

${\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta \ \ .\end{aligned}}$

То се назива Лагранжовим ресолвентима полинома; приметите да једна од ових зависи од реда корена, што је кључна тачка. Корени из ресолвената може се опоравити инвертовањем горњих једначина:

${\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right)\ \ .\end{aligned}}$

Тиме, решавање ресолвентима даје оригиналне корене.

Сад је р₁ = α + β симетрична функција у α и β, те може бити изражена преко п и q, и заправо р₁ = −п као што је горе наведено. Али р₂ = α − β није симетрично јер замењивањем α и β поништава се −р₂ = β − α . Пошто р₂ није симетрично, не може бити представљено преко коефицијената п и q, јер су они симетрични у корену и тиме је и сваки полиномски израз који укључује њих. Мењање реда корена мења само р₂ за -1 и тиме је р₂² = (α − β)² симетрична у корену и може се изразити преко п и q. Користећи једначину

$(\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \$

поништава

$r_{2}^{2}=p^{2}-4q\ \$

и тиме је

$r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\ \$

Ако се узме позитивни корен,ломи се симетрија и добија се:

${\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}$

и тиме је

${\begin{aligned}\alpha &={\tfrac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &={\tfrac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\ \ .\end{aligned}}$

Што значи да су корени

$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)$

што је квадратна формула. Мењањем п = б/а, q = ц/а поништава се уобичајена форма.Ресолвенти се могу препознати као

р₁/2 = −п/2 = −б/2а која је вертекс, и р₂² = п² − 4q која је дискриминанта

.Сличан, али сложенији метод функционише за кубне једначине, где једна има три резолвенте и квадратну једначину ("решавајући полином") која се односи на р₂ и р₃, што се може решити квадратном једначином, а слично за квартичку једначину (степен 4) ), чије је решавање полинома кубно, што може бити решено. Иста метода за квинтичку једначину даје полином степена 24, што не поједностављује проблем, и, у ствари, решења квинтичких једначина уопште се не могу изразити користећи само корене.

Преко екстрема

Познавање вредности x у функционалној екстремној тачки омогућава да се реши само за повећање (или смањење) потребно у x да се реши квадратна једначина. Ова метода прво користи диференцијацију да би нашла x_еxт тј. x у екстремној тачки.Затим решавамо за вредност x, која осигурава да јеф(x_еxт + q) = 0. Иако то можда није најинтуитивнији метод, осигурава да је математика јасна.

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial x}}&=2ax+b\ \ .\end{aligned}}$

Постављање горњег диференцијала на нулу даје нам екстреме квадратне функције

$x_{\text{ext}}={\frac {-b}{2a}}\ \ .$

Дефинишемо q као:

$q=x_{0}-x_{\text{ext}}\ \ ,$

Овде је x₀ вредност x која решава квадратну једначину. Збир x_еxт и q је убачена у квадратну једначину

${\begin{aligned}a\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)+c&=0\\[5pt]\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)^{2}+{\frac {b}{a}}\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)+{\frac {c}{a}}&=0&&(a\neq 0)\\[5pt]{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+q^{2}-{\frac {bq}{a}}-{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}+{\frac {bq}{a}}+{\frac {c}{a}}&=0\\[5pt]{\frac {-b^{2}}{4a^{2}}}+q^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\[5pt]q^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\[5pt]q&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}$

Вредност x_еxт се затим додаје на обе стране једначине

$x_{0}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Ово даје квадратну формулу. На овај начин се избегава техника комплетирања квадрата и много сложенија математика није потребна. Имајте на уму да је ово решење веома слично решавању које добија формулу супституцијом.

Поделом на реалне и имагинарне делове

Узмимо да је једначина

$az^{2}+bz+c=0$

Визуелизација комплексног корена y = аx² + бx + ц парабола је ротирана за 180 степени око свог вертеxа (нарандзасто). Његови x-пресеци су ротирани за 90 степени око средње тачке и координантни систем се тумачи као комплексна линија.(зелено)

где је $z=x+iy$комплексан број и где су а,б и ц су прави бројеви. Онда

${\begin{aligned}a(x+iy)^{2}+b(x+iy)+c&=0\ \ ,\ \ a(x^{2}-y^{2}+i2xy)+b(x+iy)+c=0\ \ .\end{aligned}}$

Ово се дели на две једначине. Реални део:

$a(x^{2}-y^{2})+bx+c=0$

и имагинарни део:

$2axy+by=0\ \ .$

Претпоставити да је $y\neq 0$те поделити другу једначину са y:

$2ax+b=0$

и решити за x:

$x={-b \over 2a}\ \ .$

Заменити ову вредност x у првој једначини и решити за y:

${\begin{aligned}a{\Big (}{b^{2} \over 4a^{2}}-y^{2}{\Big )}-{b^{2} \over 2a}+c&=0\\{b^{2} \over 4a}-ay^{2}-{2b^{2} \over 4a}+c&=0\\{-b^{2} \over 4a}-ay^{2}+c&=0\\ay^{2}+{b^{2} \over 4a}-c&=0\\y^{2}&={c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}}\\y&=\pm {\sqrt {{c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}}}}={\pm {\sqrt {ca-{b^{2} \over 4}}} \over a}={\pm {\sqrt {4ca-b^{2}}} \over 2a}\ \ .\end{aligned}}$

Пошто је $z=x+iy$, онда

${\begin{aligned}z&={-b \over 2a}\pm {i{\sqrt {4ac-b^{2}}} \over 2a}\\[5pt]z&={-b \over 2a}\pm {{\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}\ \ .\end{aligned}}$

Иако y не би требало да буде 0, последња формула се може користити за било који корен оригиналне једначине, претпостављајући да је y=0 није од велике помоћи.

Историјски развој

Најраније методе за решавање квадратних једначина биле су геометријске. Вавилонске клинасте таблице садрже проблеме који се могу свести на решавање квадратних једначина. Египатски Берлин Папирус, који датира још из Средњег краљевства (2050. пне. До 1650. пне), садржи решење за двосмерну квадратну једначину.

Елемената утицајне математичке студије. Правила за квадратне једначине појављују се у кинеских Девет поглавља о математичкој уметности око 200.

Еуклид у Атинској школи

године пре нове ере. У свом раду Аритхметица, грчки математичар Диофант (отприлике 250 пне) решавао је квадратне једначине методом која је више препознатљива алгебарска од геометријске алгебре Еуклида. Његово решење даје само један корен, чак и када су оба корена позитивна.

Индијски математичар Брахмагупта (597–668 АД) експлицитно је описао квадратну формулу у својој расправи Брахмаспхутасиддханта објављену 628. године, али написану речима умјесто симболима. Његово решење квадратне једначине аx² + бx = ц било је следеће: "На апсолутни број помножен четири пута [коефицијентом] квадрата, додајте квадрат [коефицијента] средњег члана, квадратни корен истог, без [коефицијента] средњег члана, подељен двоструким [коефицијентом] квадрата је вредност. Ово је еквивалентно:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .$

Перзијски математичар из 9. века Мумаммад ибн Муса ал-Кхваризми решио је квадратне једначине алгебарски. Квадратну формулу која покрива све случајеве први пут је добио Симон Стевин 1594. године

Године 1637. Рене Декарт је објавио Ла Геометрие који садржи посебне случајеве квадратне формуле у форми коју данас познајемо.Прво појављивање општег решења у модерној математичкој литератури појавило се у издању Хенрија Хитона из 1896. године.

Значајне користи

Геометријски значај

Што се тиче аналитичке геометрије, парабола је крива чије су (x,y)-координате описане полиномом другог степена,то јест, било која једначина облика:

График y = аx² + бx + ц, где су а и дискриминанта б² − 4ац позитивни.

$y=p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ,$

где п представља полином другог степена и а₀, а₁, и а₂ ≠ 0 константне коефицијенте чији индекси одговарају њиховом одговарајућем степену.Геометријска интерпретација квадратне формуле је та да дефинише тачке на x-оси где ће парабола сећи осу.Додатно, ако гледамо квадратну формулу из два дела:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

осна симетрија се појављује као линија x = −б/2а.Други део,&#x221А;б² − 4ац, показује растојање између нула и осне симетрије, где плус знак представља десно растојање, док знак минус представља лево растојање.

Ако би се растојање овог дела смањило на 0, вредност осне симетрије би била x вредност једине нуле,то јест,постоји само једно могуће решење квадратне једначине.Алгебарски, то значи да √б² − 4ац = 0, или једноставно б² − 4ац = 0 (где је лева страна позната као дискриминанта).Ово је један од три случаја, где дискриминанта означава колико ће нула садржати парабола.Ако је дискриминанта позитивна,дистанца неће бити нула и постојаће 2 решења.Међутим, постоји случај где је дискриминанта мања од нуле и ово указује на то да ће растојање бити имагинарно или производ комплексне јединице и, где је и = √−1 - и нуле параболе ће бити комплексни бројеви. Комплексни корен ће бити коњуговано комплексан, где ће реални део комплексног корена бити вредност осне симетрије. Неће бити реалних вредности x где парабола сече x-осу.

Димензиона анализа

Ако константе а,б и/илиц имају јединице, онда јединице од x морају бити једнаки јединицама од б/а, јер је потребно да се аx² и бx слажу по јединицама.Штавише,по истој логици, јединица од ц мора бити једнака јединицама од б²/а,сто може бити проверено без решавања за x.Ово је добар начин за проверавање да ли је квадратни израз физичких величина постављен коректно, пре решавања.

Види још

• Дискриминанта
• Основна теорема алгебре