Елементарна алгебра

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Квадратна формула, која је решење квадратне једначине где је . Овде симболи a,b,c представљају произвољне бројеве, а x је променљива која представља решење једначине.
Дводимензионални график (црвена крива) алгебарске једначине

Елементарна алгебра је основна алгебра коју изучавају ученици са мало или нимало формалног знања из области математике изузев аритметике.[1][2] Док се у аритметици јављају само бројеви и њихове аритметичке операције (попут +, −, ×, ÷), у алгебри се такође користе симболи (попут x и y, или a и b) за означавање бројева. Ови симболи се називају променљиве. Оне су корисне јер:

  • омогућавају да се генерализације аритметичких једначинанеједначина) изразе у облику закона (као што је за свако a и b), а ово је први корак у систематском изучавању својстава реалних бројева.
  • омогућавају позивање на бројеве који нису познати. У контексту проблема, променљива може да представља неку вредност која није позната, али може бити решена кроз формулацију и манипулацију једначинама.
  • омогућавају проучавање математичких односа измећу величина (попут ако продаш x карата, онда ће твој профит износити динара).

У елементарној алгебри, израз може да садржи бројеве, променљиве и аритметичке операције. Следи неколико примера:

У мало напреднијој алгебри, израз може да садржи и елементарне функције.

Једначина представља тврдњу да су два израза једнака. Неке једначине су тачне за све вредности променљивих које се у њима појављују (на пример ); такве изразе називамо идентитетима. Условне једначине су тачне само за неке вредности својих променљивих: Вредности променљивих које чине да једначина буде тачна се називају решењима једначине.

Алгебарска нотација[уреди | уреди извор]

Алгебрајска нотација описује правила и конвенције за писање математичких израза, као и терминологију која се користи за разговор о деловима израза. На пример, израз има следеће компоненте:

Коефицијент је нумеричка вредност, или слово које представља нумеричку константу, која умножава променљиву (оператор је изостављен). Члан је додатак или сабирак, група коефицијената, променљивих, константи и експонената који се могу одвојити од осталих чланова оператерима плус и минус.[3] Слова представљају варијабле и константе. Према конвенцији, слова са почетка абецеде (нпр. ) обично се користе за представљање константи, а слова на крају абецеда (нпр. и z) се користе за представљање променљивих.[4] Оне су обично написане курзивом.[5]

Алгебарске операције раде на исти начин као и аритметичке операције,[6] као што су сабирање, одузимање, множење, дељење и експоненција,[7] и примењују се на алгебарске променљиве и појмове. Симболи множења се обично изостављају и подразумевају када нема размака између две променљиве или члана, или када се користи коефицијент. На пример, се записује као , и се може записати као .[8]

Обично се изрази са највећим степеном (експонентом) пишу на левој страни, на пример, се пише лево од x. Када је коефицијент један, обично се изоставља (нпр. се пише ).[9] Исто тако када је експонент (степен) један (нпр. пише се ).[10] Када је експонент једнак нули, резултат је увек 1 (нпр. се увек преписује у 1).[11] Међутим, , које није дефинисано, не би требало да се појављује у изразу, и потребно је обратити пажњу на поједностављивање израза у којима се променљиве могу појавити у експонентима.

Закони елементарне алгебре[уреди | уреди извор]

Пример: ако онда
  • Множење је комутативна операција.
    • Дељење је операција супротна множењу.
    • Поделити један број другим је исто што и помножити га реципрочном вредношћу другог броја:
  • Степеновање није комутативна операција.
    • Стога степеновање има две супротне операције: логаритмовање и степеновање реципрочним експонентом (на пример квадратни корен).
      • Примери: ако онда Ако онда
    • Квадратни корен негативних бројева не постоји у систему реалних бројева (Види: комплексни бројевни систем)
  • Асоцијативно својство сабирања:
  • Асоцијативно својство множења:
  • Дистрибутивно својство множења у односу на сабирање:
  • Дистрибутивно својство степена у односу на множење:
  • Комбиновање експонената:
  • Степен степена:

Закони једнакости[уреди | уреди извор]

Други закони[уреди | уреди извор]

  • Ако и онда
    • Ако онда за свако c (адиционо својство једнакости).
  • Ако и онда =
    • Ако онда за свако c (мултипликативно својство једнакости).
  • Ако су два симбола једнака, онда се један може заменити другим по жељи (принцип смене).
  • Ако и онда (транзитивност неједнакости).
  • Ако онда за свако c.
  • Ако и онда
  • Ако и онда

Примери[уреди | уреди извор]

Линеарне једначине једне променљиве[уреди | уреди извор]

Најједноставније једначине су линеарне једначине које имају само једну променљиву. Оне садрже само константне бројеве и једну променљиву без експонента. На пример:

Кључна техника је сабирање, одузимање, множење или дељење обе стране једначине истим бројем како би се изоловала променљива са једне стране једначине. Када се променљива изолује, са друге стране једначине остаје вредност променљиве. На пример, одузимањем 4 са обе стране горње једначине се добија:

што се поједностављује на:

Дељењем обе стране бројем 2:

се добија решење:

Општи случај,

има исти формат решења:

Квадратне једначине[уреди | уреди извор]

Квадратне једначине могу да се изразе у облику ax2 + bx + c = 0, где је a различито од нуле (јер кад би било једнако нули, једначина не би била квадратна већ линеарна). Због овога, квадратна једначина мора да садржи терм ax2. Стога је a ≠ 0, па можемо да поделимо једначину са a и да преурадимо једначину да има стандардни облик

где је p = b/a а q = −c/a. Решавање овога, процесом допуне до квадрата води до квадратне формуле.

Систем линеарних једначина[уреди | уреди извор]

У случају када имамо систем линеарних једначина, попут на пример, две једначине са две непознате, често је могуће наћи решења за обе променљиве које задовољавају обе једначине.

Први метод решавања система[уреди | уреди извор]

Пример система линеарних једначина би могао да буде следеће:

Множењем израза у другој једначини са 2:

Сабирањем једначина, добије се:

што се може поједноставити

Како нам је сада познато да је x = 2, могуће је израчунати да је y = 3 из било које од две почетне једначине (уметањем 2 уместо x). Комплетно решење овог система је

Ово није једини начин да се реши овај систем; могли смо да нађемо y пре него што смо нашли x.

Други метод решавања система[уреди | уреди извор]

Други начин за решавање истог система линеарних једначина је коришћење смене.

Еквивалент y се може наћи коришћењем једне од ових једначина. На пример, коришћењем друге:

Одузимањем 2x са обе стране једначине:

и множењем са -1:

Коришћењем ове вредности y у првој једначини почетног система:

Додавањем 2 са обе стране једначине:

што се може поједноставити

Коришћењем ове вредности у обе једначине добија се исто решење као и код претходног метода.

Такође, ни ово није једини начин да се реши овај систем; и овде смо могли прво да израчунамо y па онда x.

Други типови система линеарних једначина[уреди | уреди извор]

Нерешиви системи[уреди | уреди извор]

У горњем примеру, могуће је наћи решење система. Међутим, постоје и системи линеарних једначина које немају решење. Очигледан пример је:

Друга једначина у систему нема решење. Стога, систем не може бити решен. Међутим, није све незадовољиве системе могуће испрва препознати. Узмимо на пример систем:

Ако покушамо да решимо овај систем (на пример коришћењем метода смене који је горе објашњен), друга једначина након додавања − 2x на обе стране и множењем са −1, даје:

А када се ово искористи као вредност y у првој једначини:

Нема преосталих променљивих, а једнакост није тачна. Ово значи да прва једначина не може да да решење за вредност y добијену из друге једначине.

Неодређени системи[уреди | уреди извор]

Постоје и системи са вишеструким решењима или бесконачним бројем решења, за разлику од система са јединственим решењем (где на пример постоје јединствене вредности за x и y) На пример:

Ако изолујемо y у другој једначини:

И искористимо ову вредност у првој једначини система:

Ова једнакост је тачна, али нам не даје вредност за x. Заиста, лако се може проверити (уписивањем неких вредности за x) да за свако x постоји решење, све док је y = −2x + 6. Постоји бесконачан број решења овог система.

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books)
  2. ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 2
  3. ^ Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78
  4. ^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
  5. ^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
  6. ^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
  7. ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6
  8. ^ Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
  9. ^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
  10. ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
  11. ^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

  1. ^ Euler's Elements of Algebra Архивирано 2011-04-13 на сајту Wayback Machine
  2. ^ Euler, Leonhard; Hewlett, John; Horner, Francis; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis (4. 5. 2018). „Elements of Algebra”. Longman, Orme. Приступљено 4. 5. 2018 — преко Google Books.