Допуна до потпуног квадрата

Из Википедије, слободне енциклопедије

Допуна до потпуног квадрата је техника елементарне алгебре са применама у различитим областима математике. Користи се, на пример, у алгебри при решавању квадратне једначине, у аналитичкој геометрији да одреди график квадратне функције, у инфинитезималном рачуну при одређивању вредности неких интеграла, и при рачунању Лапласових трансформација. Циљ ове технике је да се елиминише линеарни члан квадратног тринома.

Другим речима, квадратни трином облика

са трансформише у облик

У овом контексту, слободан члан, означен са const не зависи од променљиве x. Израз у загради је облика (x − const). Дакле, полазни трином ax2 + bx + c  се трансформише у

где треба одредити и .

У математици је допуна до потпуног квадрата основна алгебарска операција која се често без посебног наглашавања примењује у различитим рачуницама са квадратним полиномима.

Преглед[уреди]

Основа[уреди]

Основа за ову технику је једноставна формула елементарне алгебре за одређивање квадрата бинома:

На пример:

Код било ког потпуног квадрата, број p је увек половина коефицијента уз x, а слободан члан је једнак p2.

Основни пример[уреди]

Нека је дат следећи квадратни полином:

Овај трином није потпуни квадрат, пошто 28 није квадрат броја 5:

Ипак, могуће је полазни полином записати као збир квадрата и константе:


Општи поступак[уреди]

Произвољан монични квадратни трином

је могуће записати у облику квадрата бинома чија се два прва члана поклапају са датим:

Квадрат овог бинома се разликује од полазног тринома само у вредности слободног члана. Зато се може записати

где је константа. Управо овај поступак се назива допуном до потпуног квадрата. Примери:

Немонични трином[уреди]

Уколико је коефицијент уз квадратни члан различит од нуле

потребно је најпре факторисати полином у облику производа коефицијента a и квадратног тринома, и затим допунити добијени монични трином до потпуног квадрата.

Пример:

Захваљујући овоме, могуће је произвољан квадратни полином записати у облику

Формула[уреди]

Резуктат примене технике се може записати у облику формуле. У општем случају:[1]

Посебно, када је a=1:

Матрична једнакост је врло слична:

Веза са графиком[уреди]

Графици квадратних функција померени дуж x-осе за = 0, 5, 10, и 15.
Графици квадратних функција померени дуж y-осе за = 0, 5, 10, и 15.
Графици квадратних функција померени дуж x-осе и y-осе за = = 0, 5, 10, и 15.

У аналитичкој геометрији, график произвољне квадратне функције је парабола у xОy-равни. Уколико је квадратни трином облика

бројеви и се могу схватити као декартове координате темена параболе. То значи да је x-координата осе симетрије, а је минимална (или максимална, ако је a < 0) вредност квадратне функције.

Другим речима, график функције ƒ(x) = x2 је парабола чије је теме у координатном почетку (0, 0). График функције ƒ(x − ) = (x − )2 је парабола померена у десно за чије је теме у тачки (, 0), као што је приказано на горњој слици. Осим тога, график функције ƒ(x) + x2 +  је парабола померена дуж y-осе на позитивну страну за , те јој је теме у тачки (0, ), као што је приказано на другој слици. Кобиновањем хоризонталног и вертикалног померања добија се ƒ(x − ) +  = (x − )2 +  што је парабола померена у десно за и горе за са теменом у тачки (), као што се може видети на трећој слици.

Решавање квадратних једначина[уреди]

Допуна до потпуног квадрата се може користити за решавање произвољне квадратне једначине. На пример:

У првом кораку се полазни трином допуни до потпуног квадрата:

Затим се примени формула за разлику квадрата:

Одатле је

па су решења полазне једначине

Ово се може применити на произвољну квадратну једначину. Када је коефицијент уз x2 различит од 1, први корак ће бити дељење једначине са тим коефицијентом: погледати, на пример, не-монични случај.

Ирационални и комплексни корени[уреди]

За разлику од метода који користе факторизацију једначине, поуздану само у случају када су корени рационални, допуна до потпуног квадрата ће утврдити корене квадратне једначине чак и тада када су они ирационални или комплексни. На пример, дата је једначина:

Након допуне до потпуног квадрата биће

па је

Значи да су корени

што се може записати и са

Једначине чији су корени комплексни могу се решавати на исти начин:

Немонична једначина[уреди]

Уколико је потребно решити квадратну једначину чији водећи коефицијент није једнак јединици, најпре је треба поделити са тим коефицијентом:

Друге примене[уреди]

Интеграција[уреди]

Ова техника се може користити за израчунавање било ког интеграла облика

уз употребу основних једнакости:

На пример, нека је дат интеграл:

Допуном до потпуног квадрата тринома у имениоцу добија се:

Добијени интеграл се може израчунати коришћењем смене u = x + 3:

Комплексни бројеви[уреди]

Уколико су у изразу

z и b комплексни бројеви, z* и b* су њихови конјугати, и нека је c реалан број. Употребом идентитета |u|2 = uu* могуће је записати дати израз на следећи начин:

одакле се јасно види да је у питању реалан број. Запис следи из следећег низа једнакости:

У следећем изразу

нека су a, b, c, x, и y реални бројеви, и нека је a > 0 и b > 0, онда се полазни израз може приказати као квадрат апсолутне вредности комплексног броја. Ако се дефинише

биће

па је

Геометријско објашњење[уреди]

Completing the square 307.PNG

Нека је потребно применити ову технику на следећу једначину

Како x2 представља површину квадрата странице x, а bx представља површину правоугаоника са страницама b и x, процес допуне до потпуног квадрата се може представити визуелно помоћу одговарајућих четвороуглова.

Уколико се квадрат x2 и правоугаоник bx једноставно наместе тако да формирају већи квадрат, испоставиће се да њему фали један део. Члан (b/2)2 који се додаје на обе стране горње једначине представља управо површину недостајућег ћошка, одакле и потиче фраза „допуна до потпуног квадрата“.[2]

Варијација технике[уреди]

Као што се обично наводи, допуна до потпуног квадрата подразумева додавање трећег члана, v 2 на прва два члана развијене формуле за квадрат бинома:

чиме се добија прави квадрат. У неким ситуацијама потребно је додати средњи члан, или као 2uv или −2uv, на израз облика:

чиме се поново добија потпуни квадрат.

Пример: збир позитивног броја и његове реципрочне вредности[уреди]

Како важи

следи да је збир позитивног броја x и његове реципрочне вредности увек већи или једнак 2. Како је квадрат реалног израза увек већи или једнак нули, добија се наведено ограничење; јендакост са 2 се постиже само онда када је x = 1, чиме се елиминише квадратни сабирак.

Пример: факторизација једноставног полинома четвртог степена[уреди]

Нека је дат бином

Он се може написати у облику

где је средњи члан 2(x2)(18) = 36x2. Одатле следи

(у последњем реду су мономи поређани по опадајућим степенима).

Референце[уреди]

  1. Narasimhan, Revathi (1. 1. 2009). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. стр. 134—. ISBN 0-618-41302-2. 
  2. Completing the Square | Nick Alger // maps, art, etc, Приступљено 2. 4. 2013.

Спољашње везе[уреди]