Позициона нотација
Позициона нотација, или нотација у којој позиција оређује вредност, метод је представљања или кодирања бројева. Позициона нотација се разликује од других нотација (као што су римски бројеви) по њеној употреби истог симбола за различите редове величине (на пример, место јединица, место десетица, место стотина). Тиме се знатно поједностављује аритметика, што је довело до брзог ширења нотације широм света.
Са употребом радикс тачке (децималне тачке код основе-10), нотација се може проширити тако да обухвата разломке и нумеричке експанзије реалних бројева.
Вавилонски нумерички систем, чија је основа 60, је био први позициони систем, и његов утицај је присутан данас у начину на који се време и углови изражавају у групама од 60, попут 60 минута у сату, 360 степени у кругу. Индусно–арапски бројни систем, основа-10, је најшире коришћени систем на свету данас за већину прорачуна.
Историја[уреди | уреди извор]
У данашње време је децимални систем свеприсутан. Његов настанак је вероватно био инспирисан бројем прстију. Међутим и низ других основа је кориштен у прошлости, и даље се користи данас. На пример, Вавилонски нумерички систем је имао основу 60, али му је недостајала вредности 0. Нула је индицирана простором између бројева. До 300. п. н. е. интерпункциони симбол (два закошена клинаста знака) је ушао у употребу за означавање нуле у Вавилонском систему. На плочицама које су пронађене у Кишу (које датирају из 700. п.н.е), писар Bêl-bân-aplu је записао нуле са три куке, уместо два закошена знака.[1] Вавилонска ознака није била нула у данашњем смислу речи, јер није коришћена самостално, нити је кориштена на крају броја. Стога су бројеви попут 2 и 120 (2×60), 3 и 180 (3×60), 4 и 240 (4×60), изгледали исто, јер је великим бројевима недостајала крајња сексагезимална ознака. Они су се једино могли диферецирати у датом контексту.
Полимат Архимед (ца. 287–212 БЦ) је изумео децимални позициони систем у свом раду Psammites, који је био базиран на 108 [2], што је касније навело немачког математичара Карла Гауса да јадикује за нивоом који би наука већ била досегла до његовог доба да је Архимед остварио пун потенцијал свог генијалног изума.[3]
Пре него што је позициона нотација постала стандард, једноставни адитивни системи попут римских бројева су коришћени, и рачуновође у античком Риму и током Средњег века су користили абакус или камене бројаче да раде аритметику.[4]
Хоризонтална форма доњег реда
Штапови за бројање и већина абакуса коришћени су за представљање бројева у позиционом нумеричком систему. Помоћу штапова за бројање или абакуса за извођење аритметичких операција, писање почетних, средњих и коначних вредности прорачуна може се лако обавити једноставним системом адитива у свакој позицији или колони. Овај приступ није захтевао памћење табела (као и позициона нотација) и могао је брзо да произведе практичне резултате.
Најстарији постојећи систем позиционих ознака је било онај кинеских штапићастих бројева, који се користе најмање од раног 8. века, или можда кмерских бројева, који показују могућу употребу позиционих бројева у 7. веку. Кмерски бројеви и други индијски бројеви потичу од брахманских бројева из око 3. века пре нове ере, чији се симболи у то време нису користили позиционо. Средњовековни индијски бројеви су позициони, као и изведени арапски бројеви, забележени од 10. века.
После Француске револуције (1789–1799), нова француска влада је промовисала проширење децималног система.[5] Неки од тих продецималних напора — као што су децимално време и децимални календар — били су неуспешни. Други француски продецимални напори - децимализација валуте и метрика тежина и мера - проширили су се из Француске на скоро цео свет.
Историја позиционих разломака[уреди | уреди извор]
Ј. Ленарт Бергрен примећује да је позиционе децималне разломке први пут употребио арапски математичар Ел-Уклидиси још у 10. веку.[6] Јеврејски математичар Имануел Бонфилс користио је децималне разломке око 1350. године, али није развио нотацију која би их представљала.[7] Персијски математичар Јамшид ал-Каши направио је исто откриће децималних разломака у 15. веку.[6] Мухамед ел Хорезми је увео фракције у исламске земље почетком 9. века; његова презентација разломака била је слична традиционалним кинеским математичким разломцима из Суенци Суанђинга.[8] Овај облик разломка са бројилцем на врху и имениоцем на дну без хоризонталне траке такође су користили Ел-Уклидиси из 10. века и дело Џамшида ел-Кашија из 15. века „Аритметички кључ”.[8][9]
Усвајање децималног представљања бројева мањих од један, разломка, често се приписује Симону Стевину кроз његов уџбеник Де Тхиенде;[10] мада Стевин и Е. Ј. Дијкстерхуис указују да је Региомонтанус допринео европском усвајању општих децимала:[11]
- Европски математичари, када су од Хиндуса, преко Арапа, преузели идеју о позиционој вредности за целе бројеве, занемарили су да ову идеју прошире на разломке. Неколико векова они су се ограничавали на употребу обичних и сексагезималних разломака... Ова половичност никада није у потпуности превазиђена, а сексагезимални разломци и даље чине основу наше тригонометрије, астрономије и мерења времена. ... Математичари су настојали да избегну разломке узимајући радијус Р једнак броју јединица дужине облика 10н, а затим су претпоставили за н толику интегралну вредност да су све величине које се појављују могле да се изразе са довољном тачношћу целим бројевима. Први је применио ову методу немачки астроном Региомонтанус. У мери у којој је изразио гониометријске сегменте линија у јединици Р/10н, Региомонтанус се може назвати антиципатором доктрине децималних позиционих разломака.[11]:17,18
По Дијкстерхуисовој процени, „након објављивања Де Тхиенде био је потребан само мали напредак да би се успоставио комплетан систем децималних позиционих разломака, и овај корак су одмах предузели бројни писци... поред Стевина најзначајнија фигура у овом развоју био је Региомонтанус“. Дијкстерхуис је приметио да [Стевин] „приписује пуно признање Региомонтану за његов претходни допринос, рекавши да тригонометријске табеле немачког астронома заправо садрже целу теорију 'бројева десетне прогресије'.[11]:19
Непозициони системи бројева[уреди | уреди извор]
Основна карактеристика непозиционих система бројева је да симболи који означавају цифре имају исту вредност на различитим местима у запису броја. Нама најпознатији непозициони систем бројева је римски систем бројева. Поред њега, ту су египатски бројни систем и бројни систем Маја.
Римски систем бројева (200 година п. н. е.) је адитиван систем бројева. Симболи овог система су приказани у следецој табели:
| Читање римских бројева | Читање египатских бројева | Читање бројева Маја | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
Правила за писање[уреди | уреди извор]
Никад се не користи низ који има више од три идентична симбола.
Ако је мања вредност иза веће вредности, те две вредности се сабирају.
Ако је мања вредност испред веће вредности, одузимањем мање од веће вредности добија се вредност броја. Одузимање може да се врши само за вредности које су умношци 1, 10, 100 (I, X и C респективно). Одузимање се врши за следеће симболе:
- I се одузима од V и X; X се одузима од L и C; C се одузима од D и M.
За вредности преко 3999 користила се црта за надвлачење да се указе на множење са 1000. Ипак, Римљани су ретко писали велике бројеве, тако да данас постоје неслагања кад је у питању овакав начин записа великих бројева у овом бројном систему.
Референце[уреди | уреди извор]
- ^ Каплан, Роберт. (2000). Тхе Нотхинг Тхат Ис: А Натурал Хисторy оф Зеро. Оxфорд: Оxфорд Университy Пресс.
- ^ „Греек нумералс”. Архивирано из оригинала 26. 11. 2016. г. Приступљено 3. 2. 2017.
- ^ Меннингер, Карл: Захлwорт унд Зиффер. Еине Култургесцхицхте дер Захл, Ванденхоецк унд Рупрецхт, 3рд. ед. 1979. ISBN 978-3-525-40725-7. стр. 150-153.
- ^ Ifrah, стр. 187
- ^ L. F. Menabrea. Translated by Ada Augusta, Countess of Lovelace. "Sketch of The Analytical Engine Invented by Charles Babbage" Архивирано 15 септембар 2008 на сајту Wayback Machine. 1842.
- ^ а б Berggren, J. Lennart (2007). „Mathematics in Medieval Islam”. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ^ Gandz, S.: The invention of the decimal fractions and the application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.
- ^ а б Lam Lay Yong, "The Development of Hindu-Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", Chinese Science, 1996 pp. 38, Kurt Vogel notation
- ^ Lay Yong, Lam. „A Chinese Genesis, Rewriting the history of our numeral system”. Archive for History of Exact Sciences. 38: 101—108.
- ^ B. L. van der Waerden (1985). A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether
. Berlin: Springer-Verlag.
- ^ а б в E. J. Dijksterhuis (1970) Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Martinus Nijhoff Publishers, Dutch original 1943
Literatura[уреди | уреди извор]
- O'Connor, John; Robertson, Edmund (2000). „Babylonian Numerals”. Архивирано из оригинала 11. 09. 2014. г. Приступљено 21. 8. 2010.
- Kadvany, John (2007). „Positional Value and Linguistic Recursion”. Journal of Indian Philosophy. 35 (5–6): 487—520. S2CID 52885600. doi:10.1007/s10781-007-9025-5.
- Knuth, Donald (1997). The art of Computer Programming. 2. Addison-Wesley. стр. 195—213. ISBN 978-0-201-89684-8.
- Ifrah, George (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 978-0-471-37568-5.
- Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. стр. 176. ISBN 9780486233680.
- J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
- Nissen, Hans J.; Damerow, Peter; Englund, Robert K. (1993). Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-58659-5.
- Schmandt-Besserat, Denise (1996). How Writing Came About. University of Texas Press. ISBN 978-0-292-77704-0.
- Zaslavsky, Claudia (1999). Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. ISBN 978-1-55652-350-2.
- Florian Cajori, (1929), 2 volumes. Cajori, Florian (јануар 1993). A History of Mathematical Notations. Courier Corporation. ISBN 0-486-67766-4.
- Mazur, Joseph (6. 12. 2016). Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15463-3.
- „Decimal point definition and meaning | Collins English Dictionary”. www.collinsdictionary.com (на језику: енглески). Приступљено 2018-07-05.
- Weisstein, Eric W. „Decimal Point”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-22.
- „decimal point Meaning in the Cambridge English Dictionary”. dictionary.cambridge.org (на језику: енглески). Приступљено 2018-07-05.
- „How to Change Excel's Decimal Separators from Periods to Commas” (на језику: енглески). Приступљено 2018-07-05.
- „Decimal Separators: Points or commas? - Elementary Math”. Elementary Math (на језику: енглески). 2018-01-19. Приступљено 2018-07-05.
- „Definition of Decimal Point”. www.mathsisfun.com. Приступљено 2020-08-22.
- „Mythematics: a decimal point”. Grammarphobia (на језику: енглески). 2012-02-17. Приступљено 2018-07-05.
