Gramova matrica

U linearnoj algebri, Gramova matrica (ili matrica skalarnih proizvoda) za uređen skup vektora (članova vektorskog prostora) je matrica čiji su elementi skalarni proizvodi vektora iz datog skupa. Gramove matrice nalaze primenu u statistici, kvantoj mehanici, mašinskom učenju i drugim oblastima nauke i tehnike. Dobila je ime po danskom matematičaru Jergenu Pedersenu Gramu.

Definicija

Neka je dat uređen skup vektora a = (a₁, ..., a_n) iz unitarnog (ili euklidskog) vektorskog prostora V(𝔽). Gramova matrica skupa a je kvadratna matrica

$G(a)=(\langle a_{i},a_{j}\rangle )_{ij},\quad \forall i,j=1\ldots n,$

odnosno, u razvijenoj formi, matrica oblika

$G(a)=\left({\begin{array}{ccc}\langle a_{1},a_{1}\rangle &\cdots &\langle a_{1},a_{n}\rangle \\\vdots &\ddots &\vdots \\\langle a_{n},a_{1}\rangle &\cdots &\langle a_{n},a_{n}\rangle \end{array}}\right),$

gde je $\langle a_{i},a_{j}\rangle$ skalarni proizvod vektora a_i i a_j. Determinanta matrice G(a) naziva se Gramovom determinantom skupa a. Skup a je linearno nezavisan ako i samo ako je njegova Gramova matrica nesingularna, odnosno ako je njegova Gramova determinanta različita od nule.

Vidi još

• Matrica
• Skalarni proizvod
• Metrički tenzor
• Analiza glavnih komponenti

Literatura

• Lipkovski, Aleksandar (2007). Linearna algebra i analitička geometrija. Beograd: Zavod za udžbenike. ISBN 978-86-17-14540-6. COBISS.SR 139743756. 

Spoljašnje veze

• Gramove matrice na PlanetMath Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. jun 2010) (jezik: engleski)