Izomorfizam (matematika)

Grupa petih korena jedinice pod množenjem je izomorfna grupi rotacija pravilnog petougla pod kompozicijom.

Izomorfizam u matematici predstavlja bijektivno i invertibilno preslikavanje dve matematičke strukture istog tipa iz jedne u drugu, koji se može obrnuti inverznim preslikavanjem. Dve matematičke strukture su izomorfne ako između njih postoji izomorfizam. Reč izomorfizam je izvedena iz starogrčkog: ἴσος isos „jednak“, a μορφή morphe „forma“ ili „oblik“.

Interes za izomorfizme leži u činjenici da dva izomorfna objekta imaju ista svojstva (isključujući dalje informacije kao što su dodatna struktura ili nazivi objekata). Stoga se izomorfne strukture ne mogu razlikovati samo sa stanovišta strukture i mogu se identifikovati. U matematičkom žargonu se kaže da su dva objekta ista do izomorfizma.

Automorfizam je izomorfizam strukture prema sebi. Izomorfizam između dve strukture je kanonski izomorfizam (kanonska mapa koja je izomorfizam) ako postoji samo jedan izomorfizam između dve strukture (kao što je slučaj za rešenja univerzalnog svojstva), ili ako je izomorfizam mnogo prirodniji (u nekom smislu) od drugih izomorfizama. Na primer, za svaki prost broj p, sva polja sa p elementima su kanonski izomorfna, sa jedinstvenim izomorfizmom. Teoreme izomorfizma daju kanonske izomorfizme koji nisu jedinstveni.

Termin izomorfizam se uglavnom koristi za algebarske strukture. U ovom slučaju, preslikavanja se nazivaju homomorfizmi, a homomorfizam je izomorfizam ako i samo ako je bijektivan.

U različitim oblastima matematike, izomorfizmi su dobili specijalizovana imena, u zavisnosti od vrste strukture koja se razmatra. Na primer:

• Izometrija je izomorfizam metričkih prostora.
• Homeomorfizam je izomorfizam topoloških prostora.
• Difeomorfizam je izomorfizam prostora opremljenih diferencijalnom strukturom, tipično diferencibilnim mnogostrukostima.
• Permutacija je automorfizam skupa.
• U geometriji se izomorfizmi i automorfizmi često nazivaju transformacijama, na primer krute transformacije, afine transformacije, projektivne transformacije.affine transformation

Teorija kategorija, koja se može posmatrati kao formalizacija koncepta preslikavanja između struktura, pruža jezik koji se može koristiti za objedinjavanje pristupa ovim različitim aspektima osnovne ideje.

Osobine

Preslikavanje $f$ iz jedne strukture u drugu se naziva izomorfizmom kada je:

• $f$ bijektivno
• $f$ homomorfizam
• Inverzna funkcija $f^{-1}$ homomorfizam

Ako postoji izomorfizam između dve strukture, onda se za njih kaže da su izomorfne. Ovo se, recimo za strukture $X$ i $Y$ označava sa $X\cong Y$.

Praktičan primer

Slede primeri izomorfizama iz obične algebre.

Posmatrajmo logaritamsku funkciju: Za svaku fiksiranu bazu $b$, logaritam $\log _{b}$ preslikava pozitivne realne brojeve $\mathbb {R} ^{+}$ u realne brojeve $\mathbb {R}$; formalno:

$\log _{b}:\mathbb {R} ^{+}\mapsto \mathbb {R} \!$

Ovo preslikavanje je jedan-jedan i na, tj, ono je bijekcija sa domena u kodomen logaritamske funkcije.

Osim što je izomorfizam skupova, logaritamska funkcija takođe čuva određene operacije. Na primer, posmatrajmo grupu $(\mathbb {R} ^{+},\times )$ pozitivnih realnih brojeva u odnosu na obično množenje. Za logaritamsku funkciju važi sledeći identitet:

$\log _{b}(x\times y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!$

Ali realni brojevi u odnosu na sabiranje su takođe grupa. Tako da je logaritamska funkcija u stvari izomorfizam grupe iz grupe $(\mathbb {R} ^{+},\times )$ u grupu $(\mathbb {R} ,+)$.

Logaritmi se stoga mogu koristiti da pojednostave množenje realnih brojeva. Pomoću logaritama, množenje pozitivnih realnih brojeva se zamenjuje sabiranjem logaritama. Posmatrajmo grupu $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ brojeva od 0 do 5 u odnosu na sabiranje po modulu 6. Takođe posmatrajmo grupu $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, uređenih parova gde $x$ koordinate mogu biti 0 ili 1, a $y$ koordinate mogu biti 0, 1, ili 2, a sabiranje $x$-koordinate je po modulu 2 a sabiranje $y$-koordinate je po modulu 3. Ove strukture su izomorfne u odnosu na sabiranje, ako se identifikuju korišćenjem sledeće sheme:

$(0,0)\mapsto 0$

$(1,1)\mapsto 1$

$(0,2)\mapsto 2$

$(1,0)\mapsto 3$

$(0,1)\mapsto 4$

$(1,2)\mapsto 5$

ili uopšteno $(a,b)\rightarrow (3a+4b){\bmod {6}}$. Na primer, $(1,1)+(1,0)=(0,1)$ što se preslikava u drugi sistem kao $1+3=4$. Čak iako ova dva skupa izgledaju različito, on su u stvari izomorfni. Opštije, direktan proizvod dve ciklične grupe $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ i $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ je cikličan ako i samo ako su $n$ i $m$ uzajamno prosti.

Aplikacije

U algebri, izomorfizmi su definisani za sve algebarske strukture. Neki se konkretnije proučavaju; na primer:

• Linearni izomorfizmi između vektorskih prostora; oni su specificirani inverzibilnim matricama.
• Grupni izomorfizmi između grupa; klasifikacija klasa izomorfizma konačnih grupa je otvoren problem.
• Izomorfizam prstena između prstenova.
• Izomorfizmi polja su isti kao izomorfizmi prstena između polja; njihovo proučavanje, i tačnije proučavanje automorfizama polja je važan deo Galove teorije.

Baš kao što automorfizmi algebarske strukture čine grupu, izomorfizmi između dve algebre koje dele zajedničku strukturu formiraju gomilu. Dopuštanje određenom izomorfizmu da identifikuje dve strukture pretvara ovu gomilu u grupu.

U matematičkoj analizi, Laplasova transformacija je izomorfizam koji preslikava teške diferencijalne jednačine u lakše algebarske jednačine.

U teoriji grafova, izomorfizam između dva grafa G i H je bijektivna mapa f od vrhova G do vrhova H koja čuva „strukturu ivice“ u smislu da postoji ivica od temena u do temena v u G ako i samo ako postoji ivica od $f(u)$ do $f(v)$ u H. Vidi izomorfizam grafa.

U matematičkoj analizi, izomorfizam između dva Hilbertova prostora je sabiranje koji čuva bijekciju, skalarno množenje i unutrašnji proizvod.

U ranim teorijama logičkog atomizma, Bertrand Rasel i Ludvig Vitgenštajn su teoretisali da je formalni odnos između činjenica i istinitih tvrdnji izomorfan. Primer ovakvog načina razmišljanja može se naći u Raselovom Uvodu u matematičku filozofiju.

U kibernetici, dobar regulator ili Konant-Ešbijeva teorema navodi da „Svaki dobar regulator sistema mora biti model tog sistema“. Bilo da se reguliše ili samoreguliše, potreban je izomorfizam između regulatora i delova sistema za obradu.

Literatura

• Mazur, Barry (12. 6. 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF), Arhivirano iz originala (PDF) 24. 10. 2019. g., Pristupljeno 16. 07. 2022 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. American Mathematical Society. str. 3. ISBN 9780821834138. 
• Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum respecting a new System of Roots of Unity” (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446. 
• Vialar, Thierry (2016-12-07). Handbook of Mathematics (na jeziku: engleski). BoD - Books on Demand. str. 274. ISBN 9782955199008. 
• Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). „Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding”. Science. 290 (5500): 2323—2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . PMID 11125150. doi:10.1126/science.290.5500.2323. 
• Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). „Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds”. Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119—155. „Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$” 
• Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). „Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment”. SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313—338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . doi:10.1137/s1064827502419154. 
• Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). „MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights”. Advances in Neural Information Processing Systems. 19. „It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.” 
• Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9. 
• Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
• Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd izd.), Dover, ISBN 9780486471891 
• Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p. 57
• Milne, James S. (2013), Group Theory, 3.13 
• van der Waerden, B. I. (1994), Algebra, 1 (9 izd.), Springer-Verlag 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
• W. R. Scott (1964), Group Theory, Prentice Hall 
• John R. Durbin (2009). Modern Algebra: An Introduction (6 izd.). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5. 
• Anthony W. Knapp (2016), Basic Algebra (Digital second izd.) 
• Pierre Antoine Grillet (2007), Abstract Algebra (2 izd.), Springer 
• Joseph J. Rotman (2003), Advanced Modern Algebra (2 izd.), Prentice Hall, ISBN 0130878685 

• Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7. 
• Lévy, Azriel (2002) [1979]. Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (Third izd.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 
• Mazur, Barry (12. 6. 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF), Arhivirano iz originala (PDF) 24. 10. 2019. g., Pristupljeno 16. 07. 2022 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold. 
• Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3. 
• Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Mathematical Logic (2nd izd.). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Isomorphism”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Isomorphism”. MathWorld. 
• Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics