Inverzija u odnosu na krug

Inverzija u odnosu na krug predstavlja transformaciju koja čuva uglove i slika uopšteni krug u uopšteni krug. Pod uopštenim krugom podrazumevamo krug ili pravu (krug čiji je prečnik beskonačan). Mnogi problemi u geometriji su uprošćeni uvođenjem pojma uopštenog kruga. Pojam inverzije može biti primenjen i na beskonačnodimenzione prostore.

Neka je $\kappa (O,r)$ proizvoljan krug ravni $E^{2}$, zatim neka je $E_{*}^{2}=E^{2}\backslash {\big \{}O{\big \}}$ isti taj krug bez tačke $O$. Inverzijom u odnosu na krug nazivamo transformaciju

$\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$

koja svaku tačku $P\in E_{*}^{2}$ prevodi u tačku $P'\in E_{*}^{2}$ takvu da je

${\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OP'}}=r^{2}.$

Tačka $O$ je centar kruga $\kappa$, odnosno središte inverzije, duž $r$ je poluprečnik, a krug $\kappa$ nazivamo krugom inverzije $\psi _{\kappa }$.

Kako se tačka $P$ približava centru kruga $O$, njen inverz u odnosu na krug, odnosno tačka $P'$, teži beskonačnosti. Slika tačke $O$ nije definisana, niti se neka tačka slika u tačku $O$.

Tačke na kružnici se slikaju u same sebe. Tačke unutar kruga slikaju se u tačke izvan kruga, i obrnuto.

Inverzija u odnosu na krug je bijektivna transformacija.

Konstrukcija lenjirom i šestarom

Za tačku izvan kruga

Konstrukcija slike tačke $P$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa _{1}$.

Konstrukcija slike $P'$ tačke $P$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa _{1}$:

• Konstrusati duž $OP$, gde je $O$ centar kruga $\kappa _{1}$.
• Konstruisati krug $\kappa _{2}$ nad prečnikom $OP$.
• Neka su $N$ i $N'$ presečne tačke krugova $\kappa _{1}$ i $\kappa _{2}$.
• Tačka $P'$ će biti presek duži $OP$ i $NN'$.

Za tačku unutar kruga

Konstrukcija slike tačke $P'$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$.

Konstrukcija inverza $P$ tačke $P'$ unutar kruga inverzije $\kappa$:

• Konstruisati pravu $r$ koja sadrži tačke $O$ (centar kruga $\kappa$) i $P'$.
• Konstrusati normalu $s$ iz tačke $P'$ na pravu $r$.
• Neka je $N$ jedna od tačaka preseka kruga $\kappa$ i prave $s$.
• Konstruisati pravu $t$ koja sadrži tačku $N$ i normalna je na pravu $ON$.
• Tačka $P$ će biti presek pravih $r$ i $t$.

Konstrukcija inverza kruga

• Ako krug $\ell$ ne seče krug inverzije $\kappa$:

1. Konstruisati pravu tako da sadrži centre krugova $\ell$ i $\kappa$.
2. Neka su $A$ i $B$ presečne tačke te prave i kruga $\ell$.
3. Konstruisati tačke $A'$ i $B'$, slike tačaka $A$ i $B$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$.
4. Konstruisati krug $\ell '$ nad prečnikom $A'B'$. Taj krug je slika kruga $\ell$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$.

• Ako krug $\ell$ seče krug inverzije $\kappa$:

1. Neka su presečne tačke krugova $\ell$ i $\kappa$ tačke $N$ i $N'$.
2. Konstruisati pravu tako da sadrži centre krugova $\ell$ i $\kappa$. Neka je jedna od presečnih tačaka te prave i kruga $\ell$ tačka $A$.
3. Konstruisati tačku $A'$, sliku tačke $A$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$.
4. Krug $\ell '$, slika kruga $\ell$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, je krug opisan oko trougla $\triangle NN'A'$.

• 
  1. Konstrukcija slike kruga $\ell$, pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, ako se krugovi $\ell$ i $\kappa$ ne seku.
• 
  2. Konstrukcija slike kruga $\ell$, pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, ako se krugovi $\ell$ i $\kappa$ seku.

Osnovne osobine

• Inverzija u odnosu na krug je involutivna transformacija. Ako je slika tačke $P$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$ tačka $P'$, to znači da će slika tačke $P'$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$ biti tačka $P$.
• Neka tačka $X$ je invarijantna pri inverziji $\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$ ako i samo ako $X\in \kappa$. Dakle, sve tačke koje pripadaju kružnici $\kappa$, će se slikati u same sebe.
• Pri inverziji $\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$ tački $X$ koja se nalazi unutar kruga $\kappa$ odgovara tačka $X'$ koja se nalazi izvan kruga $\kappa$, i obrnuto.
• Kompozicija dveju inverzija $\psi _{\kappa _{1}}$ i $\psi _{\kappa _{2}}$ koje su definisane u odnosu na koncentrične krugove $\kappa _{1}(O,r_{1})$ i $\kappa _{2}(O,r_{2})$ je homotetija ${\mathcal {H}}_{O,r_{2}^{2}:r_{1}^{2}}$.
• Slika kruga $\ell$ koji sadrži tačku $O$, pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, je prava $l'$ koja ne sadrži $O$. Prava $l'$ je paralelna tangenti kruga $\ell$ u tački $O$.
• Slika kruga $\ell$ koji ne sadrži tačku $O$ je krug $\ell '$ koji takođe ne sadrži $O$. Ako krug $\ell$ seče krug $\kappa$, tačke preseka će pripadati i krugu $\ell '$ (jer su tačke na kružnici invarijante).
• Slika prave $l$ koja sadrži tačku $O$ je ista ta prava, bez tačke $O$.
• Slika prave $l$ koja ne sadrži tačku $O$ je krug $\ell '$ koji ne sadrži tačku $O$.

• 
  Slika kruga $\ell$ koji sadrži tačku $O$, centar kruga $\kappa$, pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, je prava $l'$ koja ne sadrži $O$.
• 
  Slika kruga $\ell$ koji ne sadrži tačku $O$, centar kruga $\kappa$, pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, je krug $\ell '$ koja ne sadrži $O$.
• 
  Koncentrični krugovi se pri inverziji u odnosu na krug ne slikaju u koncentrične krugove.

Ostale osobine:

Ortogonalni krugovi pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$

Dva kruga su ortogonalna ako i samo ako su im tangente u presečnim tačkama ortogonalne.

• Inverzija u odnosu na krug $\kappa$ preslikava neki krug $\ell$ u njega samog ako i samo ako se krugovi $\kappa$ i $\ell$ poklapaju ili su ortogonalni.
• Tačke preseka dva kruga $\kappa _{1}$ i $\kappa _{2}$ koji su ortogonalni na krug $\kappa$ su međusobno inverzne u odnosu na krug $\kappa$.

Uglovi pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$

• Inverzija u odnosu na krug ne menja uglove, ali menja orijentaciju uglova.
• Za neki trougao $\triangle OAB$, gde je $O$ centar kruga $\kappa$ i gde su tačke $A'$ i $B'$ slike tačaka $A$ i $B$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$ važi:

$\angle OAB=\angle OB'A';\quad \angle OBA=\angle OA'B'.$

• Ugao pod kojem se seku dve linije $p$ i $q$ u presečnoj tački $S$, jednak je uglu pod kojem se seku slike linija $p$ i $q$ pri inverziji u odnosu na krug $\kappa$, linije $p'$ i $q'$, u odgovarajućoj tački $S'$.

Primena

Bilo koja dva kruga koja se ne seku, mogu se inverzijom preslikati u koncentrične krugove. Inverzno rastojanje predstavlja prirodni logaritam odnosa prečnika ta dva koncentrična kruga.

Inverzija u trodimenzionom prostoru

Trodimenziona ilustracija stereografske projekcije sa severnog pola na ravan ispod sfere.

U trodimenzionom prostoru, moguće je uopštiti inverziju u odnosu na krug do inverzije u odnosu na sferu. Slika tačke $P$ pri inverziji u odnosu na sferu sa središtem u tački $O$ i prečnikom $R$ je tačka $P'$ takva da: ${\overrightarrow {OP}}\times {\overrightarrow {OP^{\prime }}}=R^{2}$.

Tačke $P$ i $P'$ su na istoj polupravoj, sa početkom u tački $O$. Pri ovakvoj inverziji, slika sfere je sfera, osim u slučaju kada sfera koju invertujemo sadrži tačku $O$. Tada je slika sfere ravan.

Dalje, svaka ravan koja ne sadrži tačku $O$ se slika u sferu, dok se ravan koja sadrži tačku $O$ slika u istu tu ravan, ali koja ne sadrži u tačku $O$.

Stereografska projekcija je poseban podslučaj inverzije u odnosu na sferu koja slika sferu na ravan.

Literatura

• D. Lopandić, Geometrija, Zavod za udžbenike, Beograd, 2011.

Spoljašnje veze

"Inversion" na sajtu MathWorld

Wilson's Inversive Geometry

Simulacija inverzije oko kruga na sajtu cut-the-knot.org