Инверзија у односу на круг

Инверзија у односу на круг представља трансформацију која чува углове и слика уопштени круг у уопштени круг. Под уопштеним кругом подразумевамо круг или праву (круг чији је пречник бесконачан). Многи проблеми у геометрији су упрошћени увођењем појма уопштеног круга. Појам инверзије може бити примењен и на бесконачнодимензионе просторе.

Нека је $\kappa (O,r)$ произвољан круг равни $E^{2}$, затим нека је $E_{*}^{2}=E^{2}\backslash {\big \{}O{\big \}}$ исти тај круг без тачке $O$. Инверзијом у односу на круг називамо трансформацију

$\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$

која сваку тачку $P\in E_{*}^{2}$ преводи у тачку $P'\in E_{*}^{2}$ такву да је

${\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OP'}}=r^{2}.$

Тачка $O$ је центар круга $\kappa$, односно средиште инверзије, дуж $r$ је полупречник, а круг $\kappa$ називамо кругом инверзије $\psi _{\kappa }$.

Како се тачка $P$ приближава центру круга $O$, њен инверз у односу на круг, односно тачка $P'$, тежи бесконачности. Слика тачке $O$ није дефинисана, нити се нека тачка слика у тачку $O$.

Тачке на кружници се сликају у саме себе. Тачке унутар круга сликају се у тачке изван круга, и обрнуто.

Инверзија у односу на круг је бијективна трансформација.

Конструкција лењиром и шестаром

За тачку изван круга

Конструкција слике тачке $P$ при инверзији у односу на круг $\kappa _{1}$.

Конструкција слике $P'$ тачке $P$ при инверзији у односу на круг $\kappa _{1}$:

• Конструсати дуж $OP$, где је $O$ центар круга $\kappa _{1}$.
• Конструисати круг $\kappa _{2}$ над пречником $OP$.
• Нека су $N$ и $N'$ пресечне тачке кругова $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$.
• Тачка $P'$ ће бити пресек дужи $OP$ и $NN'$.

За тачку унутар круга

Конструкција слике тачке $P'$ при инверзији у односу на круг $\kappa$.

Конструкција инверза $P$ тачке $P'$ унутар круга инверзије $\kappa$:

• Конструисати праву $r$ која садржи тачке $O$ (центар круга $\kappa$) и $P'$.
• Конструсати нормалу $s$ из тачке $P'$ на праву $r$.
• Нека је $N$ једна од тачака пресека круга $\kappa$ и праве $s$.
• Конструисати праву $t$ која садржи тачку $N$ и нормална је на праву $ON$.
• Тачка $P$ ће бити пресек правих $r$ и $t$.

Конструкција инверза круга

• Ако круг $\ell$ не сече круг инверзије $\kappa$:

1. Конструисати праву тако да садржи центре кругова $\ell$ и $\kappa$.
2. Нека су $A$ и $B$ пресечне тачке те праве и круга $\ell$.
3. Конструисати тачке $A'$ и $B'$, слике тачака $A$ и $B$ при инверзији у односу на круг $\kappa$.
4. Конструисати круг $\ell '$ над пречником $A'B'$. Тај круг је слика круга $\ell$ при инверзији у односу на круг $\kappa$.

• Ако круг $\ell$ сече круг инверзије $\kappa$:

1. Нека су пресечне тачке кругова $\ell$ и $\kappa$ тачке $N$ и $N'$.
2. Конструисати праву тако да садржи центре кругова $\ell$ и $\kappa$. Нека је једна од пресечних тачака те праве и круга $\ell$ тачка $A$.
3. Конструисати тачку $A'$, слику тачке $A$ при инверзији у односу на круг $\kappa$.
4. Круг $\ell '$, слика круга $\ell$ при инверзији у односу на круг $\kappa$, је круг описан око троугла $\triangle NN'A'$.

• 
  1. Конструкција слике круга $\ell$, при инверзији у односу на круг $\kappa$, ако се кругови $\ell$ и $\kappa$ не секу.
• 
  2. Конструкција слике круга $\ell$, при инверзији у односу на круг $\kappa$, ако се кругови $\ell$ и $\kappa$ секу.

Основне особине

• Инверзија у односу на круг је инволутивна трансформација. Ако је слика тачке $P$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ тачка $P'$, то значи да ће слика тачке $P'$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ бити тачка $P$.
• Нека тачка $X$ је инваријантна при инверзији $\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$ ако и само ако $X\in \kappa$. Дакле, све тачке које припадају кружници $\kappa$, ће се сликати у саме себе.
• При инверзији $\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$ тачки $X$ која се налази унутар круга $\kappa$ одговара тачка $X'$ која се налази изван круга $\kappa$, и обрнуто.
• Композиција двеју инверзија $\psi _{\kappa _{1}}$ и $\psi _{\kappa _{2}}$ које су дефинисане у односу на концентричне кругове $\kappa _{1}(O,r_{1})$ и $\kappa _{2}(O,r_{2})$ је хомотетија ${\mathcal {H}}_{O,r_{2}^{2}:r_{1}^{2}}$.
• Слика круга $\ell$ који садржи тачку $O$, при инверзији у односу на круг $\kappa$, је права $l'$ која не садржи $O$. Права $l'$ је паралелна тангенти круга $\ell$ у тачки $O$.
• Слика круга $\ell$ који не садржи тачку $O$ је круг $\ell '$ који такође не садржи $O$. Ако круг $\ell$ сече круг $\kappa$, тачке пресека ће припадати и кругу $\ell '$ (јер су тачке на кружници инваријанте).
• Слика праве $l$ која садржи тачку $O$ је иста та права, без тачке $O$.
• Слика праве $l$ која не садржи тачку $O$ је круг $\ell '$ који не садржи тачку $O$.

• 
  Слика круга $\ell$ који садржи тачку $O$, центар круга $\kappa$, при инверзији у односу на круг $\kappa$, је права $l'$ која не садржи $O$.
• 
  Слика круга $\ell$ који не садржи тачку $O$, центар круга $\kappa$, при инверзији у односу на круг $\kappa$, је круг $\ell '$ која не садржи $O$.
• 
  Концентрични кругови се при инверзији у односу на круг не сликају у концентричне кругове.

Остале особине:

Ортогонални кругови при инверзији у односу на круг $\kappa$

Два круга су ортогонална ако и само ако су им тангенте у пресечним тачкама ортогоналне.

• Инверзија у односу на круг $\kappa$ пресликава неки круг $\ell$ у њега самог ако и само ако се кругови $\kappa$ и $\ell$ поклапају или су ортогонални.
• Тачке пресека два круга $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$ који су ортогонални на круг $\kappa$ су међусобно инверзне у односу на круг $\kappa$.

Углови при инверзији у односу на круг $\kappa$

• Инверзија у односу на круг не мења углове, али мења оријентацију углова.
• За неки троугао $\triangle OAB$, где је $O$ центар круга $\kappa$ и где су тачке $A'$ и $B'$ слике тачака $A$ и $B$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ важи:

$\angle OAB=\angle OB'A';\quad \angle OBA=\angle OA'B'.$

• Угао под којем се секу две линије $p$ и $q$ у пресечној тачки $S$, једнак је углу под којем се секу слике линија $p$ и $q$ при инверзији у односу на круг $\kappa$, линије $p'$ и $q'$, у одговарајућој тачки $S'$.

Примена

Било која два круга која се не секу, могу се инверзијом пресликати у концентричне кругове. Инверзно растојање представља природни логаритам односа пречника та два концентрична круга.

Инверзија у тродимензионом простору

Тродимензиона илустрација стереографске пројекције са северног пола на раван испод сфере.

У тродимензионом простору, могуће је уопштити инверзију у односу на круг до инверзије у односу на сферу. Слика тачке $P$ при инверзији у односу на сферу са средиштем у тачки $O$ и пречником $R$ је тачка $P'$ таква да: ${\overrightarrow {OP}}\times {\overrightarrow {OP^{\prime }}}=R^{2}$.

Тачке $P$ и $P'$ су на истој полуправој, са почетком у тачки $O$. При оваквој инверзији, слика сфере је сфера, осим у случају када сфера коју инвертујемо садржи тачку $O$. Тада је слика сфере раван.

Даље, свака раван која не садржи тачку $O$ се слика у сферу, док се раван која садржи тачку $O$ слика у исту ту раван, али која не садржи у тачку $O$.

Стереографска пројекција је посебан подслучај инверзије у односу на сферу која слика сферу на раван.

Литература

• Д. Лопандић, Геометрија, Завод за уџбенике, Београд, 2011.

Спољашње везе

"Inversion" на сајту MathWorld

Wilson's Inversive Geometry

Симулација инверзије око круга на сајту cut-the-knot.org