Kirhofovi zakoni

Kirhofovi zakoni su dve jednačine koje opisuju odnos struje i napona u električnim kolima. Prvi put su opisane 1845. godine od strane Gustaf Kirhofa. Ove jednačine su nastavak radova Georga Oma i prethodili su radovima Maksvela. Imaju široku primenu u elektrotehnici i nazivaju se Kirhofovim pravilima ili Kirhofovi zakonima.

Oba Kirhofova zakona se mogu shvatiti kao oblik Maksvelovih jednačina u granicama niskih frekvencija — uobičajenog naziva 'DC' kola. Ovi zakoni služe kao prva aproksimacija za naizmenična kola.

Prvi Kirhofov zakon

Zbir struja koje ulaze u čvor je jednak zbiru struja koje izlaze iz tog čvora. i₁ + i₄ = i₂ + i₃

Naziva se još i Kirhofov strujni zakon.

U stalnom strujnom polju raspored električnih naelektrisanja u prostoru je vremenski nepromenljiv. Na mesto pokretnih naelektrisanja koja napuste zapreminu dolazi ista količina novih pokretnih naelektrisanja. Količina naelektrisanja koja se ulije u čvor mora da bude jednaka količini koja za isto vreme otekne iz čvora.

Ovo je Zakon kontinuiteta za naelektrisanje:

${Q}_{1}+{Q}_{4}={Q}_{2}+{Q}_{3}$

Ako relaciju podelimo vremenom $\scriptstyle t$, dobijamo za struju:

${I}_{1}+{I}_{4}={I}_{2}+{I}_{3}$ ili

Struja je pozitivna ukoliko je usmerena ka čvoru ili negativna ukoliko napušta čvor.

$\sum _{k=1}^{n}{I}_{k}=0$.

Jednačina važi i za kompleksne vrednosti struje:

$\sum _{k=1}^{n}{\tilde {I}}_{k}=0$

Ograničenja

Prvi Kirhofov zakon, u svom uobičajenom obliku, zavisi od pretpostavke da struja teče samo u provodnicima, i da kad god struja teče u jedan kraj provodnika, odmah ističe na drugi kraj. Ovo nije bezbedna pretpostavka za naizmenična kola. Moguće je korišćenje oblika Prvog Kirhofovog zakona razmatrajući "parazitske kapacitivnosti" koje su raspoređene duž provodnika. Ali ovo dosta odudara od jednostavnosti Prvog Kirhofovog zakona i čini kasnije opisano topološko posmatranje električnih kola nemogućim. Značajni prekršaji Prvog Kirhofovog zakona mogu da nastanu na samo 60Hz, što nije visoka frekvencija.

Drugim rečima, Prvi Kirhofov zakon je važeći samo ukoliko je ukupno naelektrisanje, $\scriptstyle Q$, konstantno u razmatranom opsegu. Kada se razmatra problem u konačnom opsegu, moguće je menjati gustinu naelektrisanja. Pošto se naelektrisanje održava, ovo može samo da se desi zbog protoka naelektrisanja u konačnom opsegu. Ovaj protok predstavlja struju mreže i Prvi Kirhofov zakon je prekršen.

Formalno, iz zapreminskog integrala jednačine kontinuiteta struje,

$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {J} \,dV=-{\frac {d}{dt}}Q,$

gde je $\scriptstyle \mathbf {J}$ vektor gustine struje i $\scriptstyle V$ je zapremina oblasti.

Konvertujući zapreminski integral u površinski integral korišćenjem teoreme divergencije

$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {J} \,dV=$ $\scriptstyle \;S$ $(\mathbf {J} \cdot \mathbf {n} )\ dS$

Odatle,

$\scriptstyle \;S$ $(\mathbf {J} \cdot \mathbf {n} )\,dS=-{\frac {d}{dt}}Q$

Desna strana se gubi ukoliko je $\scriptstyle Q$ vremenski nezavisan. Ako se praktično sva $\scriptstyle \mathbf {J}$ nalaze u malim oblastima, npr. provodne žice, onda se leva strana interpretira kao suma diskretnih struja i Prvi Kirhofov zakon važi, pod uslovom da važi $\scriptstyle dQ/dt=0$ .

Poseban slučaj gde Prvi Kirhofov zakon nije tačan je struja ulazi jednu ploču kondenzatora. Da bismo ilustrovali ovu tačku, zamislite jednu zatvorenu površinu oko te ploče, struja ulazi kroz površinu, ali ne izlazi, kršeći Prvi Kirhofov zakon. Svakako, struja kroz zatvorenu površinu oko celog kondenzator će zadovoljavati Prvi Kirhofov Zakon, jer struja koja ulazi u jednu ploču kondenzatora izlazi kroz drugu, a to je uglavnom sve što je važno u analizi kola. Međutim postoji problem kada se razmatra samo jedna ploča. Drugi čest primer je struja koja ulazi u antenu radio predajnika, ali ne izlazi iz istog (Džonson i Grejem).

Maksvel je predstavio koncept zamenskih struja kako bi objasnio ovu situaciju. Struja koja se uliva u ploču kondenzatora je jednaka brzini akumulacije naelektrisanja, i slično, jednaka brzini promene električnog fluksa (SI sistem jedinica za obe mere, električni fluks i naelektrisanje, su Kuloni). Ova brzina promene fluksa, $\psi$, je ono što je Maksvel nazvao zamenskim strujama $\scriptstyle I_{\mathrm {D} }$;

$I_{\mathrm {D} }={\frac {d\psi }{dt}}$

Ako se uključe zamenske struje, Prvi Kirhofov zakon se još jednom potvrđuje. Zamenske struje nisu prave struje, po tome što se ne sastoje od pomerajućih naelektrisanja; treba ih posmatrati više kao faktor korekcije koji čini Prvi Kirhofov zakon važećim. U slučaju kondenzatorske ploče, prava struja koja ulazi u ploču se tačno poništava sa zamenskom strujom koja napušta ploču, i putuje ka suprotnoj ploči.

Ovo takođe može da se izrazi preko količina vektorskih polja preko divergencije Amperovog zakona sa Maksvelovom korekcijom, i kombinujući Gausov zakon, dobija se:

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Ovo je prosto jednačina održavanja naelektrisanja (u integralnoj formi, ona govori da je struja koja teče od zatvorene površine jednaka brzini gubitaka naelektrisanja unutar ograničene zapremine (teorema divergencije). Kirhofov prvi zakon je ekvivalentan tvrdnji da je divergencija struje 0, tačna za vremensku nepromenljivu $\scriptstyle \rho$, ili uvek tačna ako se uključi zamenska struja sa $\scriptstyle J$.

Korišćenje

Matrična verzija Prvog Kirhofovog zakona je osnova većine programa za simulaciju električnih kola, kao što je SPAJS. Prvi Kirhofov zakon kombinovan sa Omovim zakonom se koristi u analizi čvorova.

Drugi Kirhofov zakon

Suma svih napona u konturi je jednaka nuli. v₁ + v₂ + v₃ - v₄ = 0

Naziva se još i Kirhofov naponski zakon.

U svakoj strujnoj konturi razgranatog kola algebarski zbir napona na svim otporima jednak je algebarskom zbiru svih elektromotornih sila u toj konturi. Ovo postaje jasnije kada se sagleda da je polaritet napona na otporima suprotan polaritetu izvora napona, pa zbir daje nulu.

Matematički izraženo ovo je:

$\sum _{k=1}^{n}V_{k}=0$

Za kompleksne vrednosti napona važi:

$\sum _{k=1}^{n}{\tilde {V}}_{k}=0$

Ovaj zakon se zasniva na jednom od Maksvelovih jednačina (Maksvel - Faradejev zakon indukcije) u kome se navodi da je pad napona oko jedne zatvorene konture jednak stopi promene fluksa koji seče tu konturu. Vrednost fluksa zavisi od zahvaćene oblasti konture i jačine magnetnog polja. Drugi Kirhofov zakon kaže da je vrednost napona te konture jednaka nuli. Maksvelove jednačine nam govore da će napon konture biti mali ukoliko je zahvaćena oblast konture mala, magnetno polje je slabo, i/ili magnetno polje se polako menja.

Rutinske inženjerske operacije - kao što je korišćenje koaksijalnog kabla i uvijenih parica - mogu da se koristi da se smanje lutajuća magnetna polja. Korišćenjem ovih tehnika se stvara sredina, gde drugi Kirhofov zakon postaje koristan za aproksimacije u istim situacijama u kojima je njegova primena bila neprecizna pre korišćenja ovih mera.

Ograničenja

Drugi Kirhofov zakon se zasniva na pretpostavci da ne postoji promenljivo magnetno polje koje utiče na zatvorenu konturu . Ovo nije bezbedna pretpostavka za naizmenična kola. U prisustvu promenljivog magnetnog polja, električno polje nije konzervativno vektorsko polje. Zbog toga, električno polje ne može biti gradijent nekog potencijala. Tj., integral električnog polja oko konture nije jednak nuli, što direktno protivreči Prvom Kirhofovom zakonu.

Moguće je spasiti formu Drugog Kirhofovog zakona razmatrajući parazitske induktivnosti (uključujući međusobne indukcije) koje se nalaze duž provodnika. One se tretiraju kao zamišljeni elementi kola koji proizvode pad napona jednak brzini promene fluksa. Ali, ovaj postupak dosta odskače od jednostavnosti Drugog Kirhofovog zakona i onemogućava posmatranje kola kao topološke šeme.

Uopštenje

U jednosmernim kolima, pad napona oko bilo koje konture je jednak nuli. Ovo uključuje i zamišljene konture koje se nalaze proizvoljno u prostoru -- nisu ograničene konturama koje sačinjavaju elementi kola i provodnici. Pri malim frekvencijama, ovo je posledica Faradejevog zakona indukcije (koji je jedan od Maksvelovih jednačina).

Ovo ima praktičnu primenu u situacijama koje koriste "statički elektricitet".

Topološke šeme električnih kola

U aproksimacije koje su dovele do Kirhofovih zakona spada i ideja da fizički i geometrijski raspored elemenata u kolu nije bitan. Topologija je jedina bitna stavka i određena je rasporedom provodnika i elemenata kola koji su povezani na čvorove. Takvo kolo se može tretirati čvorovima i granama u teoriji grafova. Drugim rečima, Kirhofovi zakoni kažu da je dozvoljeno tretirati električna kola samo kao čistu šemu. Ovo je veoma korisno i moćno pojednostavljivanje.

Ovaj princip radi dobro u području jednosmernih struja, ali to je samo prva aproksimacija za naizmenična kola. Za veće snage, visoke preciznosti, i/ili visoke frekvencije rada, javlja se odstupanje od Kirhofovih zakona. Ne može se zanemariti fizički i geometrijski raspored kola, jer određuje veličinu parazitne kapacitivnosti i induktivnosti.

Primer

Pretpostavimo postojanje električne mreže koja se sastoji od dva izvora napona i tri otpornika:

Prema prvom Kirhofovom zakonu imamo

$i_{1}-i_{2}-i_{3}=0\,$

Drugi Kirhofov zakon se primenjuje na zatvorenoj konturi s₁ i daje

$-R_{2}i_{2}+\epsilon _{1}-R_{1}i_{1}=0$

Drugi Kirhofov zakon se primenjuje na zatvorenoj konturi s₂ i daje

$-R_{3}i_{3}-\epsilon _{2}-\epsilon _{1}+R_{2}i_{2}=0$

Tako dobijamo linearan sistem jednačina $i_{1},i_{2},i_{3}$:

${\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\*R_{2}i_{2}+\epsilon _{1}-R_{1}i_{1}&=0\\*R_{3}i_{3}-\epsilon _{2}-\epsilon _{1}+R_{2}i_{2}&=0\\\end{cases}}$

Pod pretpostavkom

$R_{1}=100,\ R_{2}=200,\ R_{3}=300{\text{ (ohms)}};\ \epsilon _{1}=3,\ \epsilon _{2}=4{\text{ (volts)}}$

rešenje je

${\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}{\text{ or }}0.{\bar {90}}{\text{ mA}}\\i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{ or }}14.{\bar {54}}{\text{ mA}}\\i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{ or }}-13.{\bar {63}}{\text{ mA}}\\\end{cases}}$

$i_{3}$ ima negativan znak, što znači da je smer $i_{3}$ suprotan pretpostavljenom pravcu (pravac definisan na slici ).

Vidi još

• Omov zakon
• Kirhofov zakon toplotnog zračenja

Literatura

• Griffiths, David J (1999). Introduction to electrodynamics (Third izd.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0. 
• Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics (3rd izd.). ISBN 978-0-471-43132-9. 
• Morrison, Ralph (1986). Grounding and Shielding Techniques in Instrumentation. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-83805-0. 
• Paul, Clayton R. (2001). Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-37195-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0810-0. 
• Graham, Martin; Johnson, Howard (2002). High-speed signal propagation : advanced black magic (10. printing. izd.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-13-084408-8. 
• Milton, Kimball; Schwinger, J. (18. 6. 2006). Electromagnetic Radiation: Variational Methods, Waveguides and Accelerators. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29306-4. 

Spoljašnje veze

• Divider Circuits and Kirchhoff's Laws chapter from Lessons In Electric Circuits Vol 1 DC free ebook and Lessons In Electric Circuits series.