Електрични потенцијал

Из Википедије, слободне енциклопедије

Електрични потенцијал или електрични скаларни потенцијал је потенцијал који одговара електричном пољу. Електрични потенцијал је особина која карактерише сваку тачку у простору, а њена квантитативна вредност једнака је количнику потенцијалне електричне енергије по јединици наелектрисања које се налази се у статичком (временски непроменљивом) електричном пољу. Електрични потенцијал је скаларна величина, уобичајено изражена у волтима. У електромагнетизму, електрични потенцијал се уводи као скаларна функција чији је негативни градијент једнак вектору електричног поља: \vec{E} = - \mathbf{\nabla} \phi.

Назив електрични скаларни потенцијал се користи у електродинамици када електрично поље у ком се посматрано наелектрисање налази није статичко, већ је временски променљиво. Реч скаларни у називу наглашава да је потенцијал описан са једном компонентом, за разлику од магнетног векторског потенцијала за чије описивање је потребно три компоненте.

Електрични потенцијал и вектор магнетног потенцијала формирају четворовектор потенцијала, тако да су ова два потенцијала спрегнути, а њихове трансформације дефинисане су Лоренцовим трансформацијама.

Електрично поље[уреди]

Познато је да неки предмети могу имати електрични набој односно наелектрисање. Електрично поље врши померање наелектрисаних честица, убрзавајући их у смеру вектора електричног поља, односно у смеру или насупрот смеру вектора електричног поља, у зависности од врсте наелектрисања. Уколико је наелектрисана честица наелектрисана позитивним наелектрисањем, сила деловања и убрзања те честице ће бити у смеру са електричним пољем, а вредност силе која делује, одређена је величином наелектрисања честице и вредношћу електричног поља.

Електрична сила и електрична потенцијална енергија су у директном односу. Како се честица креће у смеру у којем га сила убрзава, њена потенцијална енергија се смањује. Такав однос имају и друге врсте сила и њима одговарајућих потецијалних енергија. На пример, како објекат пада услед привлачења гравитационе силе, његова гравитациона потенцијална енергија се смањује.

Потенцијал електричног поља се назива електрични потенцијал и најчешће се означава са \phi, \phi_\mathrm{E} или V. Разлика електричног потенцијала између две тачке у простору, назива се напон.

Формална дефиниција[уреди]

Електрични скаларни потенцијал \phi_\mathrm{E} се уводи преко електричног поља \mathbf{E}. Електрични скаларни потенцијал је скаларна функција чији је негативни градијент једнак вектору електричног поља:


\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E}

Како је ротор стационарног електричног поља једнак нули, \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = 0, дат линијски интеграл не зависи од специфичне путање C, већ само од крајњих тачака и одавде се добија да је електрични потенцијал једнак:


\phi_ \mathrm{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\ell}

где је C путања по којој се интеграли, а која повезује извор електричног поља и тачку за коју се потенцијал израчунава.

Ако је позната потенцијална електрична енергије U_ \mathrm{E} честице q, потенцијал се може изразити и као:


U_ \mathrm{E} = q\phi

Из Гаусове теореме која у интегралном облику тврди да је флукс електростатичког поља у вакууму кроз било коју затворену површину једнак количнику укупног наелектрисања које се налази у запремини обухваћеном том површи и диелектричне константе вакуума. Одавде следи да потенцијал задовољава Поасонову једначину:


\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{\nabla} \cdot \left (- \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E} \right) = -\nabla^2 \phi_\mathrm{E} = \rho / \varepsilon_0

где је ρ укупна густина наелектрисања која обухвата и слободна и везана наелектрисања.

Увод у електромагнетизам[уреди]

У случају када ротор електричног поља није нула, \mathbf{\nabla}\times\mathbf{E} \ne 0, тј. ако поље није стационарно, електрични потеницијал се не може директно изразити као:


\phi_ \mathrm{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\ell},

јер тада електрично поље није више конзервативно и интеграција зависи од конкретне путање. Тада се скаларни електрични потенцијал мора дефинисати заједно са магнетним векторским потенцијалом \mathbf{A}.


\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E}
\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A},

где је \mathbf{B} густина флукса магнетског поља (такође познат као магнетна индукција или магнетско поље). Увек се може пронаћи такво \mathbf{A} зато што \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 (одсуство магнетног монопола). Вредност \mathbf{F} = \mathbf{E} + \partial\mathbf{A}/\partial t је конзервативно поље одређено фарадејевим законом и може се писати:

\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

где је φ скаларни потенцијал описан конзервативним пољем \mathbf{F}.

Електростатички потенцијал, једноставно је посебан случај ове дефиниције где је \mathbf{A} временски непроменљива вредност. Са друге стране, за временски променљива поља важи следеће \int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \neq \phi(b) - \phi(a).

Обратите пажњу да ова дефиниција φ зависи од нормирања потенцијалне функције за вектор потенцијала \mathbf{A} (градијент било којег скаларног поља може бити додат \mathbf{A} без мењања \mathbf{B}). Један начин је да #Кулонов калибрациони услов (за потенцијал) Нормирање потенцијалне функције, у којем ћемо изабрати услов да је \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = 0. У овом случају, добијамо -\nabla^2 \phi = \rho/\varepsilon_0, где је ρ густина наелектрисања. Други начин је Лоренцов калибрациони услов, у којем усвајамо \mathbf{A} да би задовољили \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = - \frac{1}{c^2} \frac{\partial\phi}{\partial t}.

Посебни случајеви и примери израчунавања[уреди]

Електрични потенцијал у тачки \mathbf{l} у константном електричном пољу \mathbf{E} може се представити:

\phi_\mathrm{E} = - \int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.

Електрични потенцијал око пунктуалног наелектрисања q, на удаљености r од наелектрисања, рачуна се:

\phi_\mathbf{E} = \frac{q} {4 \pi \epsilon_o r}.

Укупан потенцијал низа пунктуалних наелектрисања једнак је суми индивидуалних потенцијала свих наелектрисања. Ова чињеница поједностављује прорачун у великој мери, због тога што је сабирање потенцијала (скаларно) поља много једноставније него сабирање вектора електричног поља.

Електрични потенцијал настао од тродимензионалног сферно симетричног Гаусовог наелектрисања густине  \rho(r) given by:

 \rho(r) = \frac{q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}},

где је q количина наелектрисања, добијен је решавањем Поасонове једначине:

\nabla^2 \phi_\mathbf{E} = - 4 \pi \rho.

решење је преко:

 \phi_\mathbf{E}(r) = \frac{q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

где је erf(x) функција грешке. Ово решење се може проверити опрезном ручном евалуацијом \nabla^2 \phi_\mathbf{E}. Обратите поажњу, да за r много веће од σ, erf(x) потенцијал \phi_\mathbf{E} постаје по вредности ближи потенцијалу пунктуалног наелектрисања \frac{q}{r}.

Примена у електроници[уреди]

Електрични потенцијал, уобичајено мерен у волтима, обезбеђује једноставан начин анализирања електричних кола без претходног познавања облика кола или поља у њима.

Електрични потенцијал обезбећује једноставан начин анализе електричних кола уз помоћ Кирхофових закона, без потпуног решавања Максвелових једначина за статичка електрична поља.

Јединице[уреди]

СИ јединица за електрични потенцијал је волт (у част Алесандро Волта), и у толико широкој употреби је да су термини напон и електрични потенцијал постали синоними. Старије јединице су ретке. Варијанте јединице електричног потенцијала су статволт (= 299.792 458 V) и абволт који је ≡ 1×10−8 V.

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]