Гаусов закон

Из Википедије, слободне енциклопедије

У физици, Гаусов закон, познат и као Гаусова теорема о флуксу, је закон који се односи на расподелу наелектрисања до постигнућа електричног поља.

Закон је формулисао Карл Фридрих Гаус 1835, али није објављен до 1867.[1] Гаусов закон је је једна од четири Максвелове једначине који чине основу класичне електродинамике, остала три су Гаусов закон магнетизма, Фарадејев закон електромагнетске индукције и Амперов закон са Максвеловом корекцијом. Гаусов закон се може користити за извођење Кулоновог закона,[2] и обрнуто.

Квалитативни опис закона[уреди]

Речима, Гаусов закон наводи да:

Мрежни извор нормалног електричног флукса путем било које затворене површине је пропорционалан укупном наелектрисању. [3]

Гаусов закон има блиске математичке сличности са неколико закона у другим областима физике, као што су Гаусов закон магнетизма и Гаусов закон гравитације. У ствари, било који "инверзно-квадратни закон" може да се формулише на начин сличан Гаусовом закону: На пример, сам Гаусов закон је у суштини једнака инверзном-квадрату Кулоновог закона, и Гаусов закон гравитације је у суштини једнака инверзном-квадрату Њутновог закона гравитације.

Гаусов закон је нешто као електрична аналогија Амперовог закона, која се бави магнетизмом.


Закон се може изразити математички коришћењем векторских формула у Интеграл формама и диференцијалне форме, оба су еквивалентни, јер су оне везане у дивергенцији теорема, такође називан Гаусова теорема. Сваки од ових облика заузврат може се изразити на два начина: у питању однос између електричног поља E, и укупног наелектрисања, или у смислу електрично варијабилно поље D и слободаног наелектрисања.[4]

Једначине које укључују Е поље[уреди]

Гаусов закон се може констатовати помоћу или електричног поља E или електричног варијабилног поља D. Овај део показује неке од облика са E, облик са D испод, као и други облици са E.

Интегрални облик[уреди]

Гаусов закон се може изразити као: :[4]

где је Φ E је електрични флукс кроз затворену површину S заграђујући било који звук V, Q је укупн наелектрисање затворена у S, и ε0 је електрична константа. Електрични флукс ΦE се дефинише као интегрална површина од електричног поља:

{{preintegral=|intsubscpt=|integrand=}}

где је E електрично поље, dA је вектор који представља бесконачни елемент подручја, [5] и представља тачку производа два вектора.

Пошто је флукс дефинисан као интеграл електричног поља, овај израз Гаусовог закона се зове интегралним обликом.

Примена интегралног облика[уреди]

Ако је електрично поље познато свуда, Гаусов закон га чини прилично лаким, теоретски, да пронађе расподелу наелектрисања: пуњење у сваком региону се може закључити интегрисањем електрично поље за налажење флукса.

Међутим, много чешће, то је обрнути проблем који треба решити: познато је расподела наелектрисања, док електрично поље треба израчунати. То је много теже, јер ако знате укупан флукс кроз дату површину, која даје скоро никакве информације о електричном пољу, која (колико знате) може да улази и излази на површину у произвољно компликованом образацу.

Изузетак је ако има неке симетрије у ситуацији, који прописује да електрично поље пролази кроз површину на јединствен начин. Затим, ако је укупан флукс познат, само поље се може извести у сваком тренутку. Уобичајени примери симетрије који су погодни за Гаусов закон обухвата цилиндричну симетрију, планарну симетрију, и сферну симетрију. Погледајте чланак Гаусова површина за примере где се ове симетрије користе да се израчуна електрично поље.

Диференцијална форма[уреди]

До дивергентној теореми Гаусов закон може алтернативно бити написан у диференцијалној форми:

где ∇ • E је дивергенција електричног поља, ε0 је електрична константа, и ρ је укупана густина електричног наелектрисања.

Једнакост интегралног и диференцијалог облика[уреди]

Интегрални и диференцијали облици су математички еквивалентни, у теореми дивергенције. Ево и конкретнијег аргуента.

Интегрални облик Гаусовог закона је:

за било које затворене површине S која садржи наелектрисање Q. по дивергентној теореми, ова једначина је једнака овој:

за било који јачину V који садржи наелектрисање Q. Од односа између наелектрисања и густине наелектрисања, ова једначина је једнака овој:

за било који јачину V. Да би ова једначине била 'истовремено важећа' у свакој могућој јачини V, потребно је (а и довољна) да интеграција буду једнаки свуда. Дакле, ова једначина је једнака овом:

Тако су интегрални и диференцијални облици еквивалентни.


Једначина која укључује Д поља[уреди]

Слободно, везано и укупно наелектрисање[уреди]

Наелектрисање које се поставља у најједноставнијим ситуацијама могло би се класификовати као „слободно“, на пример, набој који се преноси у статички електрицитет, или је наелектрисање на кондензаторској плочи. Насупрот томе, „површинско наелектрисање“ се јавља само у контексту диелектричних материјала. (Сви материјали су поларизовани донекле.) Када су ти материјали смештени у спољашњем електричном пољу, електрони и даље остају везани за свој атом, али помере микроскопско растојање у одговору на поље, тако да су они више на једној страни атома. Сва ова микроскопска померања у горе датој макроскопској мрежој расподели наелектрисања, а то представља „везано наелектрисање“.

Иако микроскопска, сва наелектрисања су у основи иста, често постоје практични разлози који желе да се везано наелектрисање третира другачије од слободног наелектрисања. Резултат је да је више „основни“ Гаусов закон, у смислу E (горе), се понекад ставља у форму еквивалентна испод, што је само у односу на D и слободног наелектрисања.

Интегрални облик[уреди]

Ова формулација Гаусовог закона наводи аналогно укупном облику наелектрисања:

где је ΦD D-поља флукс кроз површину S који обухвата запремину V, и Qfree је бесплатно наелектрисање које се садржи у V. Флукс ΦD аналогно се дефинише на флукс ΦE електричног поља E кроз S:

{{preintegral=|intsubscpt=|integrand=}}

Диференцијални облик[уреди]

Диференцијални облик Гаусовог закона, укључући сао бесплатно наелектрисање, даје:

где ∇ • D је дивергенција електричног поља померања, а ρfree је густина бесплатаног наелектрисања.

Једнакост укупног и бесплатног исказа наелектрисања[уреди]

Доказ да формулисање Гаусовог закона у оквиру слободног наелектрисања ју еквивалентне формулисање које обухвата укупно наелектрисање.

У овој доказа, ми ћемо показати да једначина

је еквивалентна једначини

Имајте на уму да се само бавимо диференцијалним обликом, не интегралним обликом, али то је довољно, јер диференцијални и интегрални облици су једнаки у сваком случају, по дивергенцијској теореми.

Уводимо густину поларизације P, која има следећи однос према E и D:

и следећи однос на везано наелектрисање:

Сада, ијамте у виду три једначине:

Кључни увид је да је збир прве две једначине трећа једначина. Овим се завршава доказ: Прва једначина је истина по дефиницији, и стога друга једначина важи ако и само ако је трећа једначина истинита. Дакле, друга и трећа једначина су еквивалентне, што је оно што смо желели да докажемо.

Једначина за линеарне материјале[уреди]

У хомогеним, изотропним, Дисперзивним, линеарним материјалима, постоји једноставан однос између E и D:

где је ε диелектрична константа материјала. У случај вакуума (тј слободаног простора), ε = ε0. Под овим околностима, Гаусов закон се мења у

у интегралном облику, и

у диференцијалном облику.

Однос према Кулоновом закону[уреди]

Подстицање Гаусовог закон из Кулоновог закона[уреди]

Гаусов закон се може извести из Кулоновог закона.

Кулонов закон наводи да је електрично поље због стационарне тачка наелектрисања:

где је

er је радијална векторска јединица,
r је радијус, |r|,
је електрична константа,
q је наелектрисање честице, за који се претпоставља да се налази у координатном почетку.

Користећи израз из Кулоновог закона, добијамо укупну поље у r користеци интеграл за сабирање поља у r због премалог наелектрисања на сваком другом месту s у простору, да даје:

где је густина наелектрисања. Ако узмемо дивергентност обе стране ове једначине у односу на r, и искористе познату теорему [6]

где је δ(r) Диракова делта функција, резултат је

Коришћење "транзлационог померања"из Диракове делта функције, стижемо у

што је диференцијални облик Гаусовг закон, као сто је и тржено.

Подстицање Кулоновог закон од Гаусовг закона[уреди]

Строго говорећи, Кулонов закон се не може извести сама из Гаусовг закона, јер Гаусов закон не даје никакве информације у вези са Роторовим (математика) E (види Хелмхолцово распадање и Фарадејев закон). Међутим, Кулонов закон може да се докаже Гаусовим законом ако се претпостави, као додатак, да је електрично поље од тачке наелектрисања сферно-симетрично (ова претпоставка, као и сам Кулонов закона, је потпуно истинит ако је наелектрисање стационарно, а приближно тачно ако је наелектрисање у покрету).

Узимајући S у интегралном облику Гаусовог закона да буде сферична површина полупречника r, центриран у тачки наелектрисања Q, имамо

По претпоставци сферне симетрије, интегранд је константа која се може изнети из интеграла. Резултат је

Где је јединични вектор који указује радијално од наелектрисања. Опет по сферној симетрији, E тачке у радијалном правцу, и тако добијамо

што је у суштини једнака Кулоновом закону. Према инверзнао-квадратним законом зависност електричног поља у Кулоновом закону следи из Гаусовог закона.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
  2. Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc. стр. 452—53. 
  3. Serway, Raymond A. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 4th edition. стр. 687. 
  4. 4,0 4,1 Grant, I.S.; Phillips, W.R. (2008). Electromagnetism (2nd изд.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
  5. Matthews, Paul (1998). Vector Calculus. Springer. ISBN 978-3-540-76180-8. 
  6. See, for example, Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. стр. 50. ISBN 978-0-13-805326-0. 

Литература[уреди]

  • Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
  • Jackson, John David . Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1.

Спољашње везе[уреди]