Koši-Švarcova nejednakost

Koši-Švarcova nejednakost, poznata i kao nejednakost Koši-Švarc-Bunjakovskog, korisna je nejednakost koja se primenjuje u mnogim oblastima matematike kao što su linearna algebra, analiza, teorija verovatnoće i druge. Smatra se jednom od najvažnijih nejednakosti u matematici.

Nejednakost za sume otkrio je Ogisten Luj Koši (1821), dok je odgovarajuću nejednakost za integrale prvi dokazao Viktor Bunjakovski (1859). Integralnu nejednakost nešto kasnije je otkrio, nezavisno od Bunjakovskog, i Herman Švarc (1888).

Iskaz nejednakosti

Koši-Švarcova nejednakost tvrdi da za sve vektore $u$ i $v$ unitarnog vektorskog prostora važi

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

gde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ predstavlja unutrašnji proizvod. Ekvivalentno, korenovanjem obe strane prethodne nejednakosti, uz korišćenje norme vektora, nejednakost se može zapisati u obliku

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$

Specijalno, jednakost važi ako i samo ako su $\mathbf {u}$ i $\mathbf {v}$ linearno zavisni (što znači da su paralelni: jedan od vektora $u$ i $v$ je nula vektor, ili predstavlja skalarni umnožak drugog).

Ako je $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$ i $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$, i unutrašnji proizvod je standardni kompleksni unutrašnji proizvod, tada se nejednakost može eksplicitno izraziti na sledeći način (gde crta iznad označava kompleksnu konjugaciju):

$|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}),$

odnosno

$\left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.$

Dokazi

Prvi dokaz

Neka su $u$ i $v$ proizvoljni vektori vektorskog prostora nad $\mathbb {F}$ sa unutrašnjim proizvodom, gde je $\mathbb {F}$ polje realnih ili kompleksnih brojeva. Želimo da dokažemo nejednakost

${\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \|u\|\|v\|,$

kao i da jednakost važi ako i samo ako je jedan od vektora $u$ i $v$ skalarni umnožak drugog (specijalno, (bar) jedan od vektora je nula vektor).

Ako je $v=0$, jasno je da tada važi jednakost, a takođe i da su $u$ i $v$ linearno zavisni (bez obzira na vektor $u$), tako da zaključujemo da u ovom slučaju tvrđenje važi. Analogno se pokazuje za slučaj $u=0$. Pretpostavimo stoga da $v$ nije nula vektor.

Neka je

$z=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.$

Tada, zbog linearnosti unutrašnjeg proizvoda po prvom argumentu, imamo da je

$\langle z,v\rangle =\left\langle u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v,v\right\rangle =\langle u,v\rangle -{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\langle v,v\rangle =0.$

Odavde sledi da je vektor $z$ ortogonalan na $v$ (zaista, $z$ je projekcija vektora $u$ na ravan ortogonalnu na $v$). Stoga možemo da primenimo Pitagorinu teoremu na

$u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z$,

što nam daje

$\|u\|^{2}=\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\|v\|^{2}+\|z\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{(\|v\|^{2})^{2}}}\,\|v\|^{2}+\|z\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}+\|z\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}},$

odakle, nakon množenja sa $\|v\|^{2}$ i uzimanja kvadratnog korena obe strane, dobijamo Koši-Švarcovu nejednakost. Dodatno, ako u prethodnom izrazu umesto $\geq$ važi jednakost, tada je $\|z\|^{2}=0$, odnosno $z=0$; tada nam definicija vektora $z$ daje linearnu zavisnost vektora $u$ i $v$.

Sa druge strane, ako su $u$ i $v$ linearno zavisni, tada postoji $\lambda \in \mathbb {F}$ tako da je $u=\lambda \cdot v$ (jer je $v\neq 0$). Tada imamo

$|\langle u,v\rangle |=|\langle \lambda \cdot v,v\rangle |=\left|\lambda \|v\|^{2}\right|=|\lambda |\|v\|^{2}=\|\lambda \cdot v\|\|v\|=\|u\|\|v\|.$

Ovime je tvrđenje dokazano.

Drugi dokaz

Neka su $u$ i $v$ proizvoljni vektori unitarnog vektorskog prostora nad $\mathbb {C}$.

U specijalnom slučaju $v=0$ tvrđenje trivijalno važi. Pretpostavimo sada da je $v\neq 0$. Neka je $\lambda \in \mathbb {C}$ dato sa $\lambda ={\frac {\langle u,v\rangle }{\|v\|^{2}}}$. Tada je

${\begin{aligned}0&\leq \|u-\lambda \cdot v\|^{2}\\&=\langle u,u\rangle -\langle \lambda \cdot v,u\rangle -\langle u,\lambda \cdot v\rangle +\langle \lambda \cdot v,\lambda \cdot v\rangle \\&=\langle u,u\rangle -\lambda \langle v,u\rangle -{\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle +\lambda {\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \\&=\|u\|^{2}-\lambda {\overline {\langle u,v\rangle }}-{\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle +\lambda {\overline {\lambda }}\|v\|^{2}\\&=\|u\|^{2}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}+{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}\\&=\|u\|^{2}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}.\end{aligned}}$

Dakle, imamo da važi $0\leq \|u\|^{2}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}$, odnosno $|\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\|v\|$, što je i trebalo dokazati.

Ako u prethodnoj nejednakosti zapravo važi jednakost, onda je $\|u-\lambda \cdot v\|=0$, odnosno $u-\lambda \cdot v=0$, odakle sledi da su $u$ i $v$ linearno zavisni. Sa druge strane, ako su $u$ i $v$ linearno zavisni, tada se kao u prvom dokazu dobija da važi $|\langle u,v\rangle |=\|u\|\|v\|$.

Više dokaza

Postoji još mnogo različitih dokaza Koši-Švarcove nejednakosti. Pri razmatranju drugih izvora, često dolazi do zabune iz dva razloga. Prvo, neki autori definišu ⟨⋅,⋅⟩ kao operator koji je linearan po drugom argumentu, umesto po prvom. Drugo, neki dokazi važe samo u slučaju kada se radi nad poljem $\mathbb {R}$, a ne $\mathbb {C}$.

Specijalni slučajevi

Tituova lema

Tituova lema (nazvana po matematičaru imena Titu Andreescu, poznata još i kao T2 lema, Engelova forma, ili Sedrakjanova nejednakost) tvrdi da za pozitivne realne brojeve važi

${\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.$

Ova lema je direktna posledica Koši-Švarcove nejednakosti, dobijena smenom $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$ i $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.$ Ovaj oblik posebno je koristan kada se u nejednakosti pojavljuje razlomak čiji je brojilac potpun kvadrat.

R² (standardni dvodimenzionalni prostor)

U običnom dvodimenzionalnom prostoru sa skalarnim proizvodom, neka je $u=(u_{1},u_{2})$ i $v=(v_{1},v_{2})$. Koši-Švarcova nejednakost tada ima oblik

$\langle u,v\rangle ^{2}=(\|u\|\|v\|\cos \theta )^{2}\leq \|u\|^{2}\|v\|^{2},$

gde je $\theta$ ugao između vektora $u$ i $v.$

Ovaj oblik je verovatno i najjednostavniji za razumevanje nejednakosti, s obzirom da kvadrat kosinusa može biti najviše 1, a to se dešava kada su vektori istog ili suprotnog smera (dakle, kada su linearno zavisni). Prethodna nejednakost može se raspisati i preko koordinata vektora $u_{1},u_{2},v_{1}$ i $v_{2}$, čime se dobija

$(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})^{2}\leq (u_{1}^{2}+u_{2}^{2})(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}),$

pri čemu jednakost važi ako i samo ako je vektor $(u_{1},u_{2})$ istog ili suprotnog smera u odnosu na vektor $(v_{1},v_{2}),$ ili ako je jedan od njih nula vektor.

Rⁿ (n-dimenzionalni euklidski prostor)

U euklidskom prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ sa standardnim unutrašnjim proizvodom, Koši-Švarcova nejednakost glasi

$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$

U ovom slučaju, data nejednakost se može dokazati i pomoću elementarne algebre. Naime, posmatrajmo sledeći kvadratni polinom po $x$:

$0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.$

Kako je dati kvadratni polinom nenegativan, on može imati najviše jedan realan koren, odakle sledi da je njegova diskriminanta manja ili jednaka nuli. Dakle,

$\left(\sum (u_{i}v_{i})\right)^{2}-\sum {u_{i}^{2}}\sum {v_{i}^{2}}\leq 0,$

odakle neposredno sledi Koši-Švarcova nejednakost.

L²

Za unutrašnji proizvod prostora kvadratno integrabilnih funkcija sa kompleksnim vrednostima važi

$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.$

Uopštenje ovoga predstavlja Helderova nejednakost.

Primene

Analiza

Nejednakost trougla za standardnu normu često se navodi kao posledica Koši-Švarcove nejednakosti. Naime, ako su dati vektori $x$ i $y$, imamo da važi:

${\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&=\|x\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=(\|x\|+\|y\|)^{2}.\end{aligned}}$

Uzimanjem kvadratnog korena obe strane nejednakosti dobijamo upravo nejednakost trougla:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Koši-Švarcova nejednakost se koristi i da se dokaže da je unutrašnji proizvod neprekidna funkcija, uzimajući u obzir topologiju koja je indukovana samim unutrašnjim proizvodom.

Geometrija

Koši-Švarcova nejednakost omogućava da se pojam ugla između dva vektora uopšti na bilo koji realni prostor sa unutrašnjim proizvodom tako što se definiše

$\cos \theta _{xy}={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}.$

Pomoću Koši-Švarcove nejednakosti dokazuje se da je data definicija dobra, tako što se pokaže da vrednost izraza sa desne strane pripada intervalu [−1, 1], i opravdava se tvrđenje da (realni) Hilbertovi prostori zapravo predstavljaju generalizaciju euklidskog prostora. Gorenavedena jednakost može se koristiti i za definisanje ugla u kompleksnim prostorima sa unutrašnjim proizvodom, uzimanjem modula ili realnog dela desne strane.

Teorija verovatnoće

Neka su X i Y slučajne promenljive. Tada za njihovu kovarijansu važi nejednakost:

$\operatorname {Var} (Y)\geq {\frac {(\operatorname {Cov} (Y,X))^{2}}{\operatorname {Var} (X)}},$

gde $\operatorname {Var}$ označava varijansu, a $\operatorname {Cov}$ kovarijansu datih slučajnih promenljivih.

Definisanjem unutrašnjeg proizvoda na skupu slučajnih promenljivih pomoću očekivanja njihovog proizvoda:

$\langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),$

Koši-Švarcova nejednakost postaje

$|\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).$

Da bismo dokazali nejednakost za kovarijansu pomoću Koši-Švarcove nejednakosti, označimo $\mu =\operatorname {E} (X)$ i $\nu =\operatorname {E} (Y)$; tada je

${\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})\operatorname {E} ((Y-\nu )^{2})\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}$

Uopštenja

Postoje razna uopštenja Koši-Švarcove nejednakosti. Helderova nejednakost predstavlja njeno uopštenje na $L^{p}$ norme. Još opštije, ova nejednakost može se interpretirati kao specijalan slučaj definicije norme linearnog operatora u Banahovom prostoru (konkretno, kada je prostor Hilbertov). Dalje generalizacije su u kontekstu teorije operatora, na primer za algebre operatora u kojima su domen i/ili kodomen zamenjeni sa C*-algebrom ili W*-algebrom.

Unutrašnji proizvod se može koristiti za definisanje pozitivnog linearnog funkcionala. Na primer, ako je dat Hilbertov prostor $L^{2}(m)$, gde je $m$ konačna mera, pomoću standardnog unutrašnjeg proizvoda može se definisati pozitivni funkcional $\varphi$ sa $\varphi (g)=\langle g,1\rangle$. Obratno, svaki pozitivni linearni funkcional $\varphi$ na $L^{2}(m)$ može se koristiti za definisanje unutrašnjeg proizvoda: $\langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi (g^{*}f)$, gde $g^{*}$ predstavlja tačka po tačka kompleksni konjugat od $g$. U ovom slučaju Koši-Švarcova nejednakost postaje

$|\varphi (g^{*}f)|^{2}\leq \varphi (f^{*}f)\varphi (g^{*}g),$

što se uopštava na pozitivne funkcionale u C*-algebrama:

Teorema (Koši-Švarcova nejednakost za pozitivne funkcionale na C*-algebrama): Ako je $\varphi$ pozitivni linearni funkcional na C*-algebri ${\mathcal {A}},$ onda za sve $a,b\in {\mathcal {A}}$ važi

$|\varphi (b^{*}a)|^{2}\leq \varphi (b^{*}b)\varphi (a^{*}a)$.

Naredne dve teoreme predstavljaju dalja uopštenja Koši-Švarcove nejednakosti u algebri operatora.

Teorema (Kadison-Švarcova nejednakost, nazvana po Ričardu Kadisonu): Ako je $\varphi$ unitalna pozitivna mapa, tada za svaki normalni element $a$ iz njenog domena važi

$\varphi (a^{*}a)\geq \varphi (a^{*})\varphi (a)$ i $\varphi (a^{*}a)\geq \varphi (a)\varphi (a^{*})$.

Odavde sledi činjenica da je $\varphi (a^{*}a)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2}$, ukoliko je $\varphi$ linearni funkcional. Slučaj kada je $a$ samoadjungovan, tj. $a=a^{*},$ se nekad naziva Kadisonova nejednakost.

Teorema (Modifikovana Švarcova nejednakost za 2-pozitivne mape): Ako je $\varphi$ 2-pozitivna mapa između C*-algebri, tada za sve $a,b$ iz njenog domena važi:

$\varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi (a^{*}a){\text{ и }}$

$\Vert \varphi (a^{*}b)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi (a^{*}a)\Vert \cdot \Vert \varphi (b^{*}b)\Vert .$

Još jedno uopštenje se dobija interpolacijom obe strane Koši-Švarcove nejednakosti:

Teorema (Nejednakost Kalebauta): Za realne brojeve $0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1$ važi:

${\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}{\Bigr )}^{2}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}.$

Ovo se lako dokazuje korišćenjem Helderove nejednakosti.

Vidi još

• Jensenova nejednakost
• Nejednakost Minkovskog
• Beselova nejednakost

Literatura

• Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), „Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses”, Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275—295, doi:10.15352/afa/06-3-20 
• Bityutskov, V. I. (2001). „Bunyakovskii inequality”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Bunyakovsky, V. (1859), „Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies” (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 9 
• Cauchy, A.-L. (1821), „Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités”, Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377 
• Dragomir, S. S. (2003), „A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, Arhivirano iz originala 20. 7. 2008. g. 
• Grinshpan, A. Z. (2005), „General inequalities, consequences, and applications”, Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71—100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001  
• Kadison, R. V. (1952), „A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras”, Annals of Mathematics, 56 (3): 494—503, JSTOR 1969657, doi:10.2307/1969657 .
• Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format 
• Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
• Schwarz, H. A. (1888), „Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung” (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318 
• Solomentsev, E. D. (2001). „Cauchy inequality”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Steele, J. M. (2004), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X 

Spoljašnje veze

• Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.
• Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine Linearly Independent Vectors Tutorial and Interactive program.