Mebijusova traka

Mebijusova traka

Mebijusova traka je površ koja nastaje od pravougaone trake tako što se jedna stranica zarotira za 180 stepeni i zalepi sa naspramnom stranicom. Ona ima samo jednu stranu i jednu graničnu komponentu. Takođe, predstavlja osnovni primer neorijentabilne površi. Nezavisno jedan od drugog otkrili su je nemački matematičari August Ferdinand Mebijus i Johan Benedikt Listing 1858. godine.

August Ferdinand Mebijus

Mebijusova traka nije površ jedinstvene veličine i oblika, kao što je traka prikazana na slici. Naime, matematičari smatraju Mebijusovom trakom bilo koju površ koja je homeomorfna sa njom. Njena granica je prosta zatvorena kriva, odnosno homeomorfna je kružnici. To omogućava razne geometrijske verzije Mebijusove trake, gde svaka ima određenu veličinu i oblik.

Poluokret u smeru kazaljke na satu daje drugačiji tip Mebijusove trake u odnosu na poluokret u suprotnom smeru. To znači da je, kao objekat u euklidskom prostoru, Mebijusova traka hiralni objekat pozitivne ili negativne orijentacije. Postoji beskonačno mnogo topološki različitih utapanja istog topološkog prostora u trodimenzioni prostor, što znači da se i Mebijusova traka može formirati na više načina, na primer uvrtanjem trake neparan broj puta ili vezivanjem trake u čvor i uvrtanjem (pre spajanja krajeva).

Izvrnuti papirni model Mebijusove trake je površ Gausove krivine nula. Sistem diferencijalno-algebarskih jednačina koji opisuje modele ovog tipa objavljen je 2007. godine zajedno sa rešenjem.

Ojlerova karakteristika Mebijusove trake je nula.

Svojstva

Mebijusova traka ima nekoliko interesantnih svojstava. Kao primer se često navodi mrav koji hoda duž Mebijusove trake. Nakon jednog obilaska naći će se sa suprotne strane svoje početne tačke, a nakon dva, u svojoj početnoj tački.

Sečenjem Mebijusove trake po sredini dobija se jedna duža traka sa dva puna obrta, a ne dve odvojene trake, kao što bi se očekivalo. Dobijena traka nije Mebijusova.

Sa druge strane, ako se Mebijusova traka seče ne po sredini, već na rastojanju od jedne trećine svoje širine do ivice, rezultat sečenja će biti dve trake: kraća, koja je Mebijusova, i duža, koja sadrži dva puna obrta (i koja nije Mebijusova i koja bi se inače dobila rezanjem početne trake na dva dela).

Uopšteno, polovljenjem trake koja ima $2n-1$ poluobrta, dobija se traka sa $2n$ punih obrta. Presecanjem trake koja ima $2n$ poluobrta, dobijaju se dve iste takve trake, međusobno uvijene $n$ puta. Na primer, za $n=2$, nakon rezanja će jedna traka biti $2$ puta obmotana oko druge. Za $n=1$ dobiće se dve karike lanca.

Dodavanjem još obrta i spajanjem krajeva dobijaju se figure koje se nazivaju paradromski prsteni.

Sečenjem dve zalepljene mebijusove trake, obrnutih poluokreta, po sredini dobijaju se dva ulančana srca

Sečenje Mebijusove trake po sredini

Sečenje Mebijusove trake po trećini širine

Orijentabilnost

Obilazak normale oko Mebijusove trake

Površ je orijentabilna ukoliko za proizvoljnu prostu zatvorenu krivu na toj površi i bilo koju tačku na toj krivoj važi sledeće: normalni vektor u toj tački neprekidnim kretanjem duž krive se vraća u svoj početni položaj bez promene smera.

Mebijusova traka nije orijentabilna, što je ilustrovano animacijom desno.

Neorijentabilnost Mebijusove trake se može dokazati i ukoliko se ona predstavi poliedarski (slika dole desno). Tada je tabela povezanosti temena, ivica i pljosni ovog modela:

$T=\{0,1,2,3,4,5\};$

$I=\{03,32,21,10,24,45,53,40,15\};$

$p_{0}=\langle 0,3,2,1\rangle ,\ p_{1}=\langle 3,2,4,5\rangle ,\ p_{2}=\langle 4,0,1,5\rangle ;$

gde $T$ predstavlja skup temena, $I$ skup ivica, a $p_{k}$ su pljosni.

Poliedarski prikaz Mebijusove trake sa 3 pljosni

Poliedarska površ je orijentabilna ako može da se uskladi orijentacija susednih pljosni, odnosno, kada svake dve susedne pljosni indukuju suprotnu orijentaciju zajedničke ivice.

Svaki pokušaj usklađivanja orijentacije pljosni Mebijusove trake biva neuspešan. Na primer:

Posmatrajući najjednostavniji poliedarski model Mebijusove trake (slika desno), vidi se da su sve tri pljosni susedne. To znači da orijentacija svake pljosni mora da bude usklađena sa ostale dve. Ukoliko se uskladi orijentacija $p_{1}$ sa $p_{0}$, dobija se: $p_{1}=<5,4,2,3>$. Tada je $p_{2}$ sa $p_{1}$ usklađeno, ali $p_{2}$ sa $p_{0}$ nije. Ukoliko promenimo orijentaciju $p_{0}$, onda ona više neće biti usklađena sa $p_{1}$. Na ovaj način je dokazano da se orijentacije pljosni Mebijusove trake ne mogu uskladiti, pa ona nije orijentabilna.

Ojlerova karakteristika

Formula za izračunavanje Ojlerove karakteristike poliedarske površi je sledeća:

$\chi =T-I+P,$

gde je $T$ broj temena, $I$ broj ivica, a $P$ broj pljosni.

Poliedarski model Mebijusove trake predstavljen na slici desno ima 6 temena, 9 ivica i 3 pljosni. Dakle, Ojlerova karakteristika iznosi 0.

Geometrija i Topologija

Parametarski prikaz Mebijusove trake

Jedan način za predstavljanje Mebijusove trake kao podskupa R³ je putem parametrizacije:

$x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u$

$y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u$

$z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}$ ,

gde je $\,0\leq u<2\pi \,$ i $\,-1\leq v\leq 1\,$. Ovo daje Mebijusovu traku širine 1, čija središnja kružnica ima poluprečnik 1, leži u $Oxy$ ravni i centar joj je u koordinatnom početku. Parametar $u$ kreće se duž trake, dok $v$ ide od jedne ivice do druge. U cilindričnim koordinatama Mebijusova traka može da se predstavi pomoću jednačine:

Da bi se napravila Mebijusova traka od kvadrata, spojiti stranice tako da se strelice poklope

$\log(r)\sin \left({\frac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\frac {1}{2}}\theta \right).$

Topologija

Topološki, Mebijusova traka se može definisati kao kvadrat $[0,1]\times [0,1]$ sa identifikacijom $(x,0)$ ~ $(1-x,1)$ za $0\leq x\leq 1$, kao što je predstavljeno na slici desno. Mebijusova traka je na ovaj način predstavljena kao površ sa povezanom granicom. Neorijentabilna je i uzima se kao savršen primer topološke osobine neorijentabilnosti iz sledećih razloga:

• Ne postoje neorijentabilne mnogostrukosti dimenzije manje od dva.

• Mebijusova traka je površ koja predstavlja topološki potprostor svake neorijentabilne površi, iz čega sledi da je data površ neorijentabilna ako i samo ako sadrži Mebijusovu traku kao svoj potprostor.

Računarska grafika

Mebijusova traka se često koristi u računarskoj grafici ili softverskim paketima za modelovanje.

Na primer, u Autodesk|3D Studio Max softveru, Mebijusovu traku dobijamo iscrtavanjem kvadrata (plane) i primenom twist i bend modifikatora za po 180º i 360º.

Kreiranje Mebijusove trake savijanjem pravougaonika

Slični objekti

Pravljenje Klajnove boce od dve Mebijusove trake

Mebijusova traka je veoma usko povezana sa Klajnovom bocom. Klajnova boca se može napraviti spajanjem dve Mebijusove trake po njihovim granicama. Međutim, ovo se u trodimenzionom euklidskom prostoru ne može postići bez samopreseka.

Još jedan sličan objekat je realna projektivna ravan koja se dobija lepljenjem Mebijusove trake i diska po njihovim rubovima. Realna projektivna ravan takođe ne može biti realizovana u trodimenzionom prostoru bez samopreseka.

U teoriji grafova, Mebijusove merdevine su 3-regularan graf sa $2n$ čvorova. Ovakvi grafovi nose ovo ime jer u sebi (osim u slučaju kada je broj čvorova šest, tj. $n=3$) sadrže tačno $n$ ciklusa dužine $4$ čijim se spajanjem po zajedničkim ivicama dobija Mebijusova traka.

Primena

Mebijusova traka, zbog svojih osobina, nalazi brojne primene u raznim oblastima.

Koristi se u fizici i elektrotehnici.

U fabrikama se koristi kao pokretna traka. Na taj način je svaki deo trake opterećen istom težinom, te je ona dugotrajnija. Ista ideja se primenjivala i u industriji kaseta (kako bi se udvostručilo vreme trajanja snimka). Takođe se koristi u industriji štampača i pisaćih mašina.

Mebijusov otpornik je element elektronskog kola, koji ima svojstvo poništavanja sopstvene induktivne reaktanse. Nikola Tesla je početkom dvadesetog veka patentirao sličnu tehnologiju, koju je nameravao da koristi u svom sistemu za globalni bežični prenos elektriciteta.

Inspiracija je za veliki broj umetničkih dela. Nalazi se ispred ulaza u Muzej američke istorije u Vašingtonu.

Nalazila se na brazilskoj poštanskoj markici 1977. godine, a na belgijskoj 1969. godine.

Mebijusova traka je usvojena kao međunarodni znak za reciklažu. Takođe se koristi kao simbol Google Drive-a.

Simbol Google Drive servisa

Međunarodni simbol za reciklažu

Literatura

• T. Šukilović, S. Vukmirović (2015). Geometrija ѕa informatičare. Matematički fakultet, Beograd. str. 117—119. ISBN 978-86-7589-106-2. 

Spoljašnje veze

• Vukmirović, Srđan, Animacija pravljenja Klajnove boce od dve Mebijusove trake
• Šta je Mebijusova traka na sajtu Wonderopolis Arhivirano na sajtu Wayback Machine (12. jun 2018)
• Mebijusova traka na sajtu MathWorld
• Mebijusova traka
• Štrikana verzija