Parabola
- Za stilsku figuru, pogledajte Parabola (književnost)
Parabola (starogrč. παραβολή, poređenje) je kriva u ravni, koja može da se predstavi kao konusni presek stvoren presekom ravni sa pravim kružnim konusom, pri čemu je ravan paralelna sa izvodnicom konusa. Parabola se može definisati i kao geometrijsko mesto tačaka u ravni koje su jednako udaljene od tačke (fokusa) i date prave (direktrise).
Jedan opis parabole obuhvata tačku (fokus) i liniju (direktorijum). Fokus ne leži na direktrisi. Parabola je geometrijsko mesto tačaka u toj ravni koje su jednako udaljene i od direktrise i od fokusa. Alternativni opis parabole je kao konusni presek, stvoren od preseka desne kružne konusne površine i ravni paralelne drugoj ravni koja je tangencijalna konusnoj površini.[a]
U Dekartovim koordinatama, parabola sa osom paralelnom sa osom y, vrhom u (h, k), sa fokusom u (h, k + p) i direktrisom y = k - p, gde je p rastojanje od vrha do fokusa, opisuje se jednačinom:
a parabola sa osom paralelnom sa osom x jednačinom
Još opštije, parabola je kriva u Dekartovom koordinatnom sistemu definisana nesvodljivom[1][2][3] jednačinom oblika
gde je , svi koeficijenti su realni brojevi, , , i gde postoji više od jednog rešenja koje definiše tačke parabole (x, y).
Osobine[uredi | uredi izvor]
Parabola je osno simetrična. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje paraboloid.
Za parabolu se kaže da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom ili .
Parabola se može definisati kao konusni presek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole slične.[4][5] Parabola se može švatiti kao granica niza elipse, u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.
Matematički zapisi[uredi | uredi izvor]
Implicitni zapis
Skup svih tačaka X u ravni, koje imaju istu udaljenost od fokusa F i od direktrise d, koja ne prolazi fokusom F.
Dekartov koordinatni sistem[uredi | uredi izvor]
Standardni opis parabole:
V[m, n] – vrh parabole sa koordinatama m, n
F – fokus parabole
d – direktrisa
o – osa parabola
– veličina parametra,
X[x, y] – proizvoljna tačka koja pripada paraboli
Kanonski oblik jednačine[uredi | uredi izvor]
Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom te za vrh parabole ) vredi
Za parabola je otvorena desno, a za parabola je otvorena levo. Za dobija se parabola s vrhom u koordinatnom početku.
Fokus tako zadane parabole ima koordinate
a direktrisa je opisana jednačinom
Kanonski oblik jednačine parabole s osom u koordinatnoj osi i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao
Za parabola je otvorena prema gore, a za otvorena je prema dole.
Jednačina konusnog preseka[uredi | uredi izvor]
Ako se u jednačini konusnog preseka uvrsti i , dobija se parabola u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom ),[6] koja ima disektrisu
fokus ima koordinate
a koordinate vrha su
Parametar ima vrednost
Slično u slučaju i dobija se parabola u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom ). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobija ase
Parabola se iz opšteg do normalnog položaja može prevesti rotacijom koordinatnog sistema o ugao datog izrazom
Karakteristike parabole u odnosu na njen položaj[uredi | uredi izvor]
- Osa parabole je paralelna s osom imajući minimum (tačka V) na osi .
- Temena jednačina:
- Parametarska jednačina:
- Oššta jednačina:
- Jednačina direktrise:
- Jednačina tangente u tački :
Osa parabole je paralelna sa osom imajući maksimum (tačka V) na osi .
- Temena jednačina:
- Parametarska jednačina:
- Opšta jednačina:
- Jednačina direktrise:
- Jednačina tangente u tački :
- Osa parabole je paralelna sa osom imajući minimum. Konveksna parabola.
- Temena jednačina:
- Parametarska jednačina:
- Opšta jednačina:
- Jednačina direktrise:
- Jednačina tangente u tački :
- Osa parabole je paralelna s osom imajući maksimum. Konkavna parabola.
- Temena jednačina:
- Parametarska jednačina:
- Opšta jednačina:
- Jednačina direktrise:
- Jednačina tangente u tački :
Uzajamni odnos parabole i prave[uredi | uredi izvor]
Ako se reši sistem jednačina parabole i prave. Ukoliko se dobije linearna jednačinu, koja ima rešenja - prava seče parabolu u jednoj tački. Ukoliko linearna jednačina nema rešenja - prava i parabola se mimoilaze. Ukoliko se dobije kvadratna jednačina i diskriminanta je:
- D > 0 dva rešenja - prava seče parabolu u dve tačke
- D = 0 jedno rešenje - prava je paraboli tangenta
- D < 0 nema rešenja - prava i parabola se mimoilaze
Polarni koordinatni sistem[uredi | uredi izvor]
Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:
gde je parameter parabole.
Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima takođe značenje polovine dužine tzv. latus rectum, tako da je i tetiva konusnog preseka normalna na glavnu osu u fokusu . Kod parabole se ta vrednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.
Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom kardiode.[7]
Parabola u realnom svetu[uredi | uredi izvor]
Trajektorije tela koja se kreću u homogenom gravitacijskom polju su parabole. Po paraboli se takođe kreću tela u centralnim gravitacijskim poljima, ako je njihova brzina tačno jednaka drugoj kosmičkoj brzini, a smer im se poklapa sa smerom tog polja. Npr. put, po kojem se kreću neke kometi, su veoma slične paraboli.
Ako se zrak koji prilazi paraboli (ili paraboloidu) paralelno sa osom simetrije odbije od parabole/paraboloida, prolaziće fokusom. To je razlog, zašto se proizvode parabolična ogledala i antene (npr. kod automobila, dvogleda, telekomunikacijskih satelita i sl.).
Napomene[uredi | uredi izvor]
- ^ The tangential plane just touches the conical surface along a line, which passes through the apex of the cone.
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th izd.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
- ^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0, pp. 91.
- ^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd izd.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
- ^ Kumpel, P. G. (1975), „Do similar figures always have the same shape?”, The Mathematics Teacher, 68 (8): 626—628, ISSN 0025-5769, doi:10.5951/MT.68.8.0626.
- ^ Shriki, Atara; David, Hamatal (2011), „Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective”, Learning and Teaching Mathematics, 11: 29—34.
- ^ Tsukerman, Emmanuel (2013). „On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197—208.
- ^ R.C. Yates (1952). „Cardioid”. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. str. 4 ff.
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Lockwood, E. H. (1961). A Book of Curves. Cambridge University Press.
- „Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America”. Pristupljeno 30. 9. 2016.
- Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (2 izd.). Springer. str. 3. ISBN 3-540-40106-7. Extract of page 3.
- Fitzpatrick, Richard (14. 7. 2007). „Spherical Mirrors”. Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Pristupljeno 5. 10. 2011.
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Parabola”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Weisstein, Eric W. „Parabola”. MathWorld.
- Stargazer
- Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
- Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
- Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
- Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
- Parabolic Mirror at cut-the-knot
- Three Parabola Tangents at cut-the-knot
- Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
- Parabola As Envelope II at cut-the-knot
- The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
- Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659