Parsevalova teorema
Ovaj članak možda zahteva čišćenje i/ili prerađivanje kako bi se zadovoljili standardi kvaliteta Vikipedije. Problem: delimično mašinski prevod. |
U matematici, Parsevalova teorema [1] obično se odnosi na rezultat da je Furijeova transformacija unitarna ; odnosno, da je suma (ili integral) kvadrata funkcije jednaka zbiru (ili integralu) kvadrata njegove transformacije. Ona potiče iz teoreme iz 1799. godine o serijama Marka-Antoana Parsevala, koja je kasnije primenjena na Furijeov red . Poznata je i kao Rajlehova energetska teorema, ili Rajlehov identitet, nakon Džona Vilijama Strata, lorda Rajleha. [2]
Iako se termin „Parsevalova teorema“ često koristi za opisivanje unitarnosti bilo koje Furijeove transformacije, posebno u fizici, najčešći oblik ovog svojstva se pravilnije naziva Planšerelova teorema . [3]
Dokaz Parsevalove teoreme[uredi | uredi izvor]
Pretpostavimo da su i dve kvadratne integrabilne (u pogledu Lebegove mere), funkcije složene vrednosti na periode sa Furijeovim redom
i
respektivno. Onda
|
gde je imaginarna jedinica, a horizontalne crtice označavaju složenu konjugaciju .
Više uopšteno, data kao abelova lokalna kompaktna grupa G sa dualnošću po Pontragjinu G^, Parsevalova teorema kaže da Pontragjin-Furijeova transformacija jeste unitarni operater između Hilbertovih prostora L2 (G) i L2 (G^) (s integracija je protiv odgovarajuće umanjene Harove mere na dve grupe.) Kada je G jedinični krug T, G^ su celi brojevi i to je slučaj koji je gore razmatran. Kada je G prava linija , G^ je takođe a unitarna transformacija je Furijeova transformacija na stvarnoj liniji. Kada je G ciklična grupa Zn, ponovo je samodualna, a Pontragjin-Fourijeva transformacija je ono što se u primenjenim kontekstima naziva diskretnom Furijevom transformacijom .
Parsevalova teorema se takođe može izraziti na sledeći način: Pretpostavimo da je kvadratna integrabilna funkcija (tj. i su integrisani na tom intervalu), sa Furijeovim redom
Notacija korišćena u fizici[uredi | uredi izvor]
U fizici i inženjerstvu, Parsevalova teorema se često piše kao:
gde predstavlja kontinuiranu Furijeovu transformaciju (u normalizovanom, unitarnom obliku) od , a je frekvencija u radijanima u sekundi.
Tumačenje ovog oblika teoreme je da se ukupna energija signala može izračunati sabiranjem snage po uzorku tokom vremena ili spektralne snage po frekvenciji.
Za diskretne vremenske signale, teorema postaje:
gde jeste diskretna Furijeova transformacija (DTFT) od i predstavlja ugaonu frekvenciju (u radijanima po uzorku) od .
Alternativno, za diskretnu Furijeovu transformaciju (DFT), odnos postaje:
gde jeste DFT od , obe dužine .
Vidi još[uredi | uredi izvor]
Parsevalova teorema usko je povezana sa ostalim matematičkim rezultatima koji uključuju unitarne transformacije:
- Parsevalov identitet
- Planšerelova teorema
- Teorema Vajner – Hinčin
- Beselova nejednakost
Napomene[uredi | uredi izvor]
- ^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).
- ^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.
- ^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
- ^ Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. str. 439.
- ^ Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus (4th izd.). Reading, MA: Addison Wesley. str. 519. ISBN 0-201-57888-3.
- ^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Prevod: Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. str. 119.
Reference[uredi | uredi izvor]
- Parseval, MacTutor arhiva istorije matematike .
- George B. Arfken i Hans J. Veber, Matematičke metode za fizičare (Harcourt: San Diego, 2001).
- Hubert Kennedi, Osam matematičkih biografija (Peremptori Publications: San Francisco, 2002).
- Alan V. Oppenheim i Ronald V. Schafer, 2. izdanje diskretne obrade signala (Prentice Hall: Upper Saddle River, Nj, 1999) str. 60.
- Villiam McC. Siebert, Circuits, Signals, and Sistems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), str. 410–411.
- David V. Kammler, Prvi kurs u Fourierovoj analizi (Prentice-Hall, Inc., Reka Gornje sedlo, Nj, 2000) str. 74.
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- Parsevalova teorema na MetVorld