Pređi na sadržaj

Poliedar

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Poliedar je geometrijsko telo omeđeno sa četiri ili više mnogouglova (koji se nazivaju strane ili pljosnati poliedri) i kome su ivice duži. Sama reč je nastala kao složenica reči poli (πολυς), što znači mnogo, i reči edron (εδρον), što znači baza, površ, sedište.[1]

Poliedarska površ

[uredi | uredi izvor]

Skup površi mnogouglova takvih da je svaka stranica svakog mnogougla ujedno i stranica još samo jednog mnogougla, obrazuju zatvorenu površ koja se naziva poliedarska površ. Deo geometrijskog prostora koji ograničava (zatvorena) poliedarska površ je unutrašnjost poliedarske površi.

Unija poliedarske površi i njene unutrašnjosti je poliedar.

  • Površi mnogouglova, od kojih se sastoji poliedarska površ, nazivaju se strane (ili pljosni) poliedra, a stranice tih mnogouglova nazivaju se ivice poliedarske površi i poliedra.
  • Rogljevi koje obrazuju strane poliedra sa jednim zajedničkim temenom su rogljevi poliedra, a vrhovi tih rogljeva su temena poliedra.
  • Svaka duž koja spaja dva temena poliedra, a ne pripada nijednoj strani poliedra predstavlja dijagonalu poliedra.
  • Svaka ravan koju određuju tri temena poliedra i ne sadrži nijednu stranu poliedra predstavlja dijagonalnu ravan poliedra.

Podela poliedra

[uredi | uredi izvor]

Poliedri mogu biti konveksni i nekonveksni-konkavni.

  • Poliedar je konveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom poliedru, u suprotnom slučaju poliedar je nekonveksan odnosno konkavan.

Konveksni Poliedri

[uredi | uredi izvor]
  • Konveksan poliedar leži samo sa jedne strane ravni svake svoje strane.
  • Konveksan poliedar se može predstaviti kao presek konačnog broja poluprostora određenih ravnima njegovih strana.

Regularni poliedri

[uredi | uredi izvor]

Poliedar čije su sve strane regularni podudarni mnogouglovi i čiji su svi rogljevi podudarni naziva se regularan poliedar.

Konveksni regularni poliedri - Platonova tela

[uredi | uredi izvor]

Konveksni regularni poliedri su poznati pod nazivom Platonova tela. Njihove strane su podudarni pravilni mnogouglovi, a rogljevi su međusobno podudarni i konveksni. To znači da su sve strane jednog poliedra pravilni mnogouglovi sa istim brojem n međusobno jednakih stranica i u temenu svakog roglja se sustiče isti broj k tih mnogouglova.

Dualni poliedri

[uredi | uredi izvor]

U geometriji poliedri se posmatraju u parovima. Svakom poliedru odgovara dualni poliedar koji nastaje metamorfozom datog poliedra u kojoj:

  • svakom temenu polaznog poliedra odgovara strana novog poliedra
  • svakoj strani polaznog poliedra odgovara teme novog poliedra
  • svakoj ivici polaznog poliedra odgovara ivica novog poliedra.

Osobine

[uredi | uredi izvor]
  • Strana prelazi u teme novog poliedra, a njeno teme u stranu koja sadrži to teme.
  • Teme prelazi u stranu novog poliedra, a svaka strana čije je to teme u teme te strane.
  • Ivica koja spaja dva temena prelazi u zajedničku ivicu dve odgovarajuće strane novog poliedra.
  • Zajednička ivica dve susedne strane poliedra prelazi u ivicu koja spaja odgovarajuća temena novog poliedra.
  • Svaka strana poliedra je poligon sa određenim brojem svojih temena. Metamorfozom poligon prelazi u teme, a njegova temena u strane novog poliedra čije je to teme, odnosno strani odovara rogalj.
  • Svako teme poliedra je teme jednog njegovog roglja. Teme prelazi u stranu, a strane poliedra koje se sustiču u tom temenu (strane roglja) u temena koja pripadaju toj strani novog poliedra.
  • Dualni poliedar dualnog poliedra je polazni poliedar.

Dualni poliedri – Platonova tela

[uredi | uredi izvor]

Strane konveksnog regularnog poliedra tipa {n, k} su pravilni poligoni sa n temena. Strana se preslikava u teme novog poliedra a, a njena temena u strane novog poliedra koje se sustiču u tom temenu. Dobija se rogalj sa n strana.

Temena konveksnog regularnog poliedra tipa su {n, k} su temena podudarnih rogljeva sa k strana. Teme roglja prelazi u stranu, a njegove strane (odnosno strane poliedra koje se sustiču u tom temenu) u k temena te strane novog poliedra.

  • Dualni poliedar konveksnog regularnog poliedra tipa {n, k} je konveksni regularni poliedar tipa {k, n}.

Numeričke karakteristike Platonovih tela

[uredi | uredi izvor]

Karakteristika poliedra:

  • n – broj temena (stranica) strane poliedra
  • k – broj strana koje se sustiču u istom temenu
  • T – broj temena poliedra
  • S – broj strana poliedra
  • I – broj ivica poliedra

Diedar čine dve susedne strane sa zajedničkom ivicom koja predstavlja ivicu diedra. Svi diedralni uglovi jednog Platonovog tela su međusobno jednaki. Diedralni ugao se očitava u ravni normalnoj na ivicu diedra.

Tetraedar (vidi animaciju)
Razmotana figura tetraedra

Platonova tela - tetraedar

[uredi | uredi izvor]
  • 4 temena
  • 6 ivica
  • 4 strane
  • Diedralni ugao: 70.53°

Formule

[uredi | uredi izvor]
Površina
Zapremina
Poluprečnik opisane sfere
Poluprečnik upisane sfere
Visina
Ugao između ivice i površi
Ugao između dve površi

Platonova tela – heksaedar

[uredi | uredi izvor]
Kocka
  • 8 temena
  • 12 ivica
  • 6 strana
  • Diedralni ugao: 90°

Formule

[uredi | uredi izvor]
Važniji elementi kocke
Površina
Zapremina
Mala dijagonala[2]
Velika dijagonala
Poluprečnik upisane sfere
Poluprečnik opisane sfere

Platonova tela – oktaedar

[uredi | uredi izvor]
Oktaedar
  • 6 temena
  • 12 ivica
  • 8 strana
  • Diedralni ugao: 109.47°

Formule

[uredi | uredi izvor]
Površina
Zapremina
Poluprečnik opisane
sfere
Poluprečnik upisane
sfere

Platonova tela – dodekaedar

[uredi | uredi izvor]
Dodekaedar
  • 20 temena
  • 30 ivica
  • 12 strana
  • Diedralni ugao: 116.56°

Formule

[uredi | uredi izvor]
Površina
Zapremina
Poluprečnik upisane
sfere
Poluprečnik opisane
sfere

Platonova tela – ikosaedar

[uredi | uredi izvor]
Ikosaedar
  • 12 temena
  • 30 ivica
  • 20 strana
  • Diedralni ugao: 138.19°

Formule

[uredi | uredi izvor]
Površina
Zapremina
Poluprečnik upisane
sfere
Poluprečnik opisane
sfere

Izometrija poliedra

[uredi | uredi izvor]

Uzajamno jednoznačno preslikavanje f: T1 → T2 poliedara (tela) T1, T2 u kome dolazi do očuvanja metrike odnosno očuvanja rastojanja između tačaka je izometrično preslikavanje ili izometrija. Geometrijske transformacije: translacija, rotacija, refleksija i njihova kompozicija (uzastopno izvođenje) u proizvoljnom poretku i proizvoljnom broju su izometrične transformacije.

Simetrije poliedra

[uredi | uredi izvor]

Izometrično preslikavanje f : T → T poliedara T u samog sebe je simetrija. Grupa simetrija svakog poliedra sadrži sve moguće rotacije i sve moguće refleksije koje poliedar preslikavaju u samog sebe. Kompozicija simetrija jednog poliedra (u proizvoljnom poretku) je takođe jedna simetrija iz grupe svih mogućih simetrija tog poliedra.

Reference

[uredi | uredi izvor]
  1. ^ Lakatos, I.; Proofs and refutations: The logic of mathematical discovery (2nd Ed.), CUP, 1977.
  2. ^ Nekada se mala dijagonala obeležava sa d, a velika sa D. Ovde je mala obeležena sa d1, a velika sa d2, da bi se izbegla višeznačnost sa temenom D.

Literatura

[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze

[uredi | uredi izvor]

Opšta teorija

[uredi | uredi izvor]

Spisak i baza podataka poliedara

[uredi | uredi izvor]

Slobodni softver

[uredi | uredi izvor]
  • A Plethora of Polyhedra – An interactive and free collection of polyhedra in Java. Features includes nets, planar sections, duals, truncations and stellations of more than 300 polyhedra.
  • Hyperspace Star Polytope Slicer - Explorer java applet, includes a variety of 3d viewer options.
  • openSCAD - Free cross-platform software for programmers. Polyhedra are just one of the things you can model. The openSCAD User Manual is also available.
  • OpenVolumeMesh - An open source cross-platform C++ library for handling polyhedral meshes. Developed by the Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
  • Polyhedronisme Arhivirano na sajtu Wayback Machine (25. april 2012) - Web-based tool for generating polyhedra models using Conway Polyhedron Notation. Models can be exported as 2D PNG images, or as 3D OBJ or VRML2 files. The 3D files can be opened in CAD software, or uploaded for 3D printing at services such as Shapeways.

Resursi za pravljenje fizičkih modela

[uredi | uredi izvor]