Коцка

С Википедије, слободне енциклопедије
Коцка

Коцка (правилни хексаедар, од грч. hexáedron - тело са шест површина) је један од пет правилних полиедара. Омеђена је са шест страница, квадратних површи спојених тако да образују тело са дванаест дужи (ивица) и осам темена. Коцка је специјалан случај квадра коме су све странице једнаке. Посебне врсте коцке за играње јесу коцкице и Рубикова коцка.

Уопштење[уреди | уреди извор]

Коцка K у простору Rn се може дефинисати помоћу једне тачке A = (a1, ..., an) из Rn, дужине ивице коцке a, као и са n вектора v1, ..., vn који чине једну позитивно оријентисану ортонормирану базу Rn. Рецимо да је свака ивица коцке K паралелна са тачно једним различитим вектором те базе, као и да тачка A представља почетак координатног система кога граде ови вектори.

Свака тачка X = (x1, ..., xn) коцке K онда може бити представљена на следећи начин:

Уколико се за векторе v1, ..., vn узму вектори који чине канонску базу Rn, добија се:

Формуле[уреди | уреди извор]

Следе неке од чешће коришћених формула које се везују за коцку.

Важнији елементи коцке
Површина
Запремина
Мала дијагонала[1]
Велика дијагонала
Полупречник уписане сфере
Полупречник описане сфере

Ортогоналне пројекције[уреди | уреди извор]

Коцка има четири посебне ортогоналне пројекције, центриране, на темену, ивицама, лицу и нормално на њену фигуру темена. Први и трећи одговарају A2 и B2 Коксетеровим равнима.

Ортогоналне пројекције
Центриране са Лице Теме
Коксетерове равни B2
2-cube.svg
A2
3-cube t0.svg
Пројективноа
симетрија
[4] [6]
Нагнути погледи Cube t0 e.png Cube t0 fb.png

Сферно поплочавање[уреди | уреди извор]

Коцка се такође може представити као сферна плочица, и пројектована на раван путем стереографске пројекције. Ова пројекција је конформна, чува углове, али не и површине или дужине. Праве на сфери се пројектују као кружни лукови на раван.

Uniform tiling 432-t0.png Cube stereographic projection.svg
Ортографска пројекција Стереографска пројекција

Декартове координате[уреди | уреди извор]

За коцку са центром у координатном пореклу, са ивицама паралелним са осама и са дужином ивице од 2, картезијанске координате врхова су

(±1, ±1, ±1)

док се унутрашњост састоји од свих тачака (x0, x1, x2) са −1 < xi < 1 за свако i.

Уједначене боје и симетрија[уреди | уреди извор]

Коцка има три уједначене обојења, назване бојама квадрата око сваког темена: 111, 112, 123.

Коцка има четири класе симетрије, које се могу представити темено-транзитивним бојењем лица. Највиша октаедарска симетрија Oh има сва лица исте боје. Диедрална симетрија D4h долази од тога што је коцка чврста, са свих шест страна различите боје. Призматични подскуп D2d има истo обојење као и претходни, а D2h има наизменичне боје за своје стране за укупно три боје, упарене са супротних страна. Сваки облик симетрије има другачији Витофов симбол.

Име Регуларни
хексаедар
Квадратна призма Правоугаона
трапезопризма
Правоугаони
кубоид
Ромбна
призма
Тригонални
трапезоедар
Коксетеров
дијаграм
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 2x.pngCDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.png
Шафлијев
симбол
{4,3} {4}×{ }
rr{4,2}
s2{2,4} { }3
tr{2,2}
{ }×2{ }
Вајтофов
симбол
3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
Симетрија Oh
[4,3]
(*432)
D4h
[4,2]
(*422)
D2d
[4,2+]
(2*2)
D2h
[2,2]
(*222)
D3d
[6,2+]
(2*3)
Ред
симетрије
24 16 8 8 12
Слика
(једнобразно
обојење)
Hexahedron.png
(111)
Tetragonal prism.png
(112)
Cube rotorotational symmetry.png
(112)
Uniform polyhedron 222-t012.png
(123)
Cube rhombic symmetry.png
(112)
Trigonal trapezohedron.png
(111), (112)

Геометријски односи[уреди | уреди извор]

Једанаест мрежа коцке.
Ове познате шестостране коцкице су кубоидног облика.

Коцка има једанаест мрежа (једна приказана изнад): то јест, постоји једанаест начина да се шупља коцка спљошти сечењем седам ивица.[2] Да би се обојила коцку тако да ниједна суседна лица нема исту боју, требале би најмање три боје.

Коцка је ћелија јединог правилног поплочавања тродимензионалног еуклидског простора. Такође је јединствен међу Платоновим телима по томе што има лица са парним бројем страна и, сходно томе, једини је члан те групе који је зоноедар (свако лице има тачку симетрију).

Коцка се може исећи на шест идентичних квадратних пирамида. Ако се ове квадратне пирамиде затим причврсте на лица друге коцке, добија се ромбични додекаедар (са паровима компланарних троуглова комбинованих у ромбичне површине).

Повезани полиедри[уреди | уреди извор]

Дуал коцке је октаедар, који се овде види са врховима у центру квадратних страна коцке.
Хемикуб је коефицијент 2 према 1 коцке.

Количник коцке са Антиподалом мапом даје пројективни полиедар, хемикуб.

Ако оригинална коцка има дужину ивице 1, њен двоструки полиедар (октаедар) има дужину ивице .

Коцка је посебан случај у различитим класама општих полиедара:

Име Једнаке дужине ивица? Једнаки углови? Прави углови?
Коцка Да Да Да
Ромбоедар Да Да Не
Кубоид Не Да Да
Паралелепипед Не Да Не
четвороугаоно окренут хексаедар|Не Не Не

Темена коцке се могу груписати у две групе по четири, од којих свака формира правилан тетраедар; уопштеније, ово се назива демикуб. Ова два заједно формирају правилно спајање, стела октангула. Пресек ова два формира правилан октаедар. Симетрије правилног тетраедра одговарају симетрији коцке која сваки тетраедар пресликава на себе; остале симетрије коцке пресликавају то двоје једно на друго.

Једнолично саће и полихори[уреди | уреди извор]

То је елемент од 9 од 28 конвексног једноликог саћа:

Кубично саће
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Одсечено квадратно призматично саће
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Окресани квадратно призматично саће
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Издужено троугласто призматично саће Жироиздужено троугласто призматично саће
Partial cubic honeycomb.png Truncated square prismatic honeycomb.png Snub square prismatic honeycomb.png Elongated triangular prismatic honeycomb.png Gyroelongated triangular prismatic honeycomb.png
Кантелирано кубно саће
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
Кантизарубљено кубично саће
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
Рансизарубљено кубично саће
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
Рансинирано наизменично кубично саће
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
HC A5-A3-P2.png HC A6-A4-P2.png HC A5-A2-P2-Pr8.png HC A5-P2-P1.png

Такође је елемент пет четвородимензионалних униформних полихора:

Тесеракт
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Кантелирана 16-ћелија
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансинирани тесеракт
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кантизарубљена 16-ћелија
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансизарубљена 16-ћелија
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4-cube t0.svg 24-cell t1 B4.svg 4-cube t03.svg 4-cube t123.svg 4-cube t023.svg

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Некада се мала дијагонала обележава са d, а велика са D. Овде је мала обележена са d1, а велика са d2, да би се избегла вишезначност са теменом D.
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Cube”. MathWorld. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]