Samosličnost

Standardna (trivijalna) samosličnost^[1]

U matematici, samosličan objekat je tačno ili približno sličan deo sebe (tj ceo ima isti oblik kao jedan ili više delova). Mnogi objekti u stvarnom svetu, kao što su obale, statistički su samoslični: delovi njih pokazuju iste statističke osobine na mnogim skalama.^[2] Samosličnost je tipično vlasništvo fraktala. Skala invarijantnosti je tačan oblik gde za svako uvećanje postoji manji deo objekta koji je sličan celini. Na primer, strana Kohove pahulje je i simetrična i skalno-invarijantna; može se kontinuirano uvećati 3 puta bez promena oblika. Ne-trivijalne sličnosti u fraktalima se razlikuju po svojoj strukturi, ili finim detaljima na proizvoljno malim skalama. Kao protiv primer, dok bilo koji deo prave linije može ličiti na celinu, dalji detalj nije otkriven.

Definicija

Kompaktni topološki prostor H je samosličan ako postoji konačni skup S koji indeksira ne-surjektivne homeomorfizme $\{f_{s}:s\in S\}$ za koje

X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)

Ako je $X\subset Y$ , tada X zovemo samosličnim ako je on jedini ne-prazni podskup od Y takav da je gornja jednačina zadovoljena za $\{f_{s}:s\in S\}$ . Mi zovemo

{\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})

samosličnom strukturom. Homeomorfizmi mogu biti iterirani što rezultira sistemom iterirane funkcije. Kompozicija funkcija stvara algebarsku strukturu poznatu kao monoid. Kad skup S ima svega dva elementa monoid je poznat kao diadički monoid. Diadički monoid može biti vizuelno prikazan kao beskonačno binarno stablo- generalnije, ako skup S ima p elemenata, mopnoid može biti predstavljen p-adičkim stablom.

Automorfizam diadičkog monoida je modularna grupa, automorfizmi mogu biti naslikani kao hiperboličke rotacije binarnog stabla.

Opštiji pojam od samosličnosti je samo-afinitet.

Primeri

Samosličnost u Mandelbrotovom skupu pokazano zumiranjem u Fajgembaumove tačke u(−1.401155189..., 0)

Mandelbrotov skup je takođe samosličan oko Misiurevic tačaka.

Samosličnost ima značajne posledice za projektovanje računarskih mreža, tipične samoslične osobine ima mrežni saobraćaj. Na primer, u inženjerstvu saobraćaja, tehnologija paketnog prenosa podataka obrazaca izgleda statistički sebislično.^[3]Ova nekretnina znači da jednostavni modeli koji koriste distribuciju Poisonovu su netačni, i mreže projektovane bez uzimanja sebisličnosti u obzir verovatno da funkcionišu na neočekivane načine.

Slično tome, berze su opisane kao prikaz samoafiniteta, odnosno one se pojavljuju samoslične kada transformisanje preko odgovarajuće srodne transformacije za nivo detalja bude prikazano.^[4] Endru Lo opisuje berze Dnevnik povratka samosličnosti u ekonometriju.^[5]

Konačna podeona pravila su moćna tehnika za izgradnju samosličnih skupova, uključujući Kantor skup i Sjerpinjski trougao.

Trougao podeljen u više navrata koristi baricentričnu podelu. Komplement velikih krugova postaje Sjerpinjski tepih

U prirodi

Samosličnost može se naći u prirodi, takođe. Sa desne strane je matematički generisana, savršena sebi slična slika paprati, koja značajno liči na prirodnu paprat. Ostale biljke, kao što su rimski brokoli, pokazuju snažnu samosličnost.

U muzici

Šepardov ton je samosličan u frekvencijskim ili domenimatalasne dužine.
Danski kompozitor Per Norgard je koristio samosličan ceo broj sekvence pod nazivom "beskonačna serija 'u mnogo delova njegove muzike.

Vidi još

Reference

^ Mandelbrot, Benoit B. (1982).
^ Mandelbrot, Benoit (maj 1967). „How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension”. Science Magazine.
^ Leland et al.
^ Mandelbrot, Benoit (februar 1999). „How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street”. Scientific American.
^ Campbell, Lo and MacKinlay (1991) "Econometrics of Financial Markets ", Princeton University Press!

Spoljašnje veze

"Copperplate Chevrons" — a self-similar fractal zoom movie
"Self-Similarity" — New articles about Self-Similarity. Waltz Algorithm

[1] Mandelbrot, Benoit B. (1982).

[2] Mandelbrot, Benoit (maj 1967). „How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension”. Science Magazine.

[3] Leland et al.

[4] Mandelbrot, Benoit (februar 1999). „How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street”. Scientific American.

[5] Campbell, Lo and MacKinlay (1991) "Econometrics of Financial Markets ", Princeton University Press!

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]