Tenzor

Košijev tenzor napona drugog reda ($\mathbf {T}$) opisuje sile napona koje doživljava materijal u datoj tački. Proizvod $\mathbf {T} \cdot \mathbf {v}$ tenzora napona i jediničnog vektora $\mathbf {v}$, usmerenog u datom pravcu, vektor je koji opisuje sile napona koje doživljava materijal u tački koju opisuje tenzor napona, duž ravni koja je okomita na $\mathbf {v}$. Ova slika prikazuje vektore napona duž tri okomita pravca, od kojih je svaki predstavljen licem kocke. Pošto tenzor napona opisuje mapiranje koje uzima jedan vektor kao ulaz, a daje jedan vektor kao izlaz, to je tenzor drugog reda.

Tenzor (grč. tensio što znači naprezanje) je vektor određenog vektorskog prostora i kao matematička struktura predstavlja uopštenje vektora. Tenzorske veličine su fizičke veličine čija vrednost zavisi i od koordinate. One se matematički predstavljaju matricom.

Tenzor je fizička veličina koja je povezana sa elastičnim, deformabilnim osobinama supstanci. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini, kao što je sredina kod nekubičnih kristala. Tenzorske veličine su moment inercije, toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks prelamanja i druge.

Tenzorski račun je oblast matematike u kojoj se proučavaju tenzori i operacije s njima. Tenzorski račun obuhvata tenzorsku algebru i tenzorsku analizu. Primenjuje se u geometriji, teorijskoj fizici, mehanici i primenjenoj mehanici. Zbog svoje proste simbolike ušao je kao aparat u niz savremenih tehničkih disciplina.

Tulio Levi-Kivit i Gregorio Riči-Kurbastro popularizovali su tenzore 1900. godine – nastavljajući raniji rad Bernharda Rimana i Elvina Bruna Kristofela i drugih – kao deo apsolutnog diferencijalnog računa. Koncept je omogućio alternativnu formulaciju unutrašnje diferencijalne geometrije mnogostrukosti u obliku tenzora Rimanove zakrivljenosti.

Definicija

Formalna definicija:

Tenzor $(m,n)$ u vektorskom prostoru $V$ nad poljem $F$ je linearno preslikavanje $V\otimes ...\otimes V\otimes V^{*}\otimes ...\otimes V^{*}\longmapsto F$ koje za domen uzima proizvod vektorskog prostora $V$ $m$ puta i $n$ puta proizvod njegovog dualnog vektorskog prostora $V^{*}$. Prostor svih tenzora stepena $(m,n)$ je $T_{n}^{m}(V)$.

Definicija tenzora pri transformaciji polilinearnog funkcionala iz jednog u drugi bazis.

Tenzor $(p,q)$ je polilinearni funkcional $\sum _{k,m,...}\sum _{t,u,...}\tau _{i}^{k}\tau _{j}^{m}\dots \sigma _{t}^{r}\sigma _{u}^{s}\dots a_{km...}^{tu...}$ zadat sistemom od $n^{p+q}$ brojeva, gde su $\tau _{j}^{i}$ i $\sigma _{j}^{i}$ elementi matrica prelaska $\mathbb {S}$ i $\mathbb {T}$ iz biortogonalnih bazisa u nove bazise pod uslovom da važi $\mathbb {S} ={\mathbb {T} }^{-1}$.

Generalizacije

Tenzorski proizvodi vektorskih prostora

Vektorski prostori tenzorskog proizvoda ne moraju biti isti, a ponekad se elementi takvog opštijeg tenzorskog proizvoda nazivaju „tenzori“. Na primer, element prostora tenzorskog proizvoda V ⊗ W je „tenzor” drugog reda u ovom opštijem smislu, a tenzor reda-d se takođe može definisati kao element tenzorskog proizvoda od d različitih vektorskih prostora. Tenzor tipa (n, m), u smislu prethodno definisanog, je takođe tenzor reda n + m u ovom opštijem smislu. Koncept tenzorskog proizvoda može se proširiti na proizvoljne module preko prstena.

Istorijski pregled

Reč tenzor je 1846. godine uveo Vilijam Rouan Hamilton i njime je opisao normu operacije u Klifordovoj algebri.

Koncepti kasnije tenzorske analize proizašli su iz rada Karla Fridriha Gausa u diferencijalnoj geometriji, a na formulaciju je u velikoj meri uticala teorija algebarskih oblika i invarijanti razvijena sredinom devetnaestog veka. Samu reč „tenzor”" uveo je 1846. godine Vilijam Rovan Hamilton da bi opisao nešto drugačije od onoga što se sada podrazumeva pod tenzorom. Savremenu upotrebu je uveo Voldemar Vojt 1898. godine.

Tenzorski račun je oko 1890. razvio Gregorio Riči-Kurbastro pod nazivom apsolutni diferencijalni račun, a prvobitno ga je predstavio Riči-Kurbastro 1892. godine. Mnogim matematičarima je postao dostupan objavljivanjem klasičnog teksta Riči-Kurbastra i Tulio Levi-Kivita iz 1900. godine s naslovom Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Metode apsolutnog diferencijalnog računa i njihove primene).

U 20. veku, ova tema je postala poznata kao tenzorska analiza, a ostvarila je šire prihvatanje uvođenjem Ajnštajnove teorije opšte relativnosti, oko 1915. Opšta teorija relativnosti je u potpunosti formulisana jezikom tenzora. Ajnštajn je o njima, uz poteškoće, saznao od geometra Marsela Grosmana. Levi-Kivit je zatim pokrenuo prepisku sa Ajnštajnom kako bi korigovao greške koje je Ajnštajn napravio u korišćenju tenzorske analize. Korespondencija je trajala tokom 1915–17, a karakterisalo ju je uzajamno poštovanje:

Divim se eleganciji vašeg metoda računanja; mora da je lepo jahati kroz ova polja na konju prave matematike dok se osobe poput mene moraju mukotrpno probijati peške.

— Albert Ajnštajn

Takođe je utvrđeno da su tenzori korisni u drugim oblastima kao što je mehanika kontinuuma. Neki dobro poznati primeri tenzora u diferencijalnoj geometriji su kvadratni oblici kao što su metrički tenzori i Rimanov tenzor zakrivljenosti. Spoljašnja algebra Hermana Grasmana, iz sredine devetnaestog veka, je sama po sebi tenzorska teorija, i veoma geometrijska, ali je prošlo neko vreme pre nego što je sa teorijom diferencijalnih formi viđena kao prirodno ujedinjena sa tenzorskim računom. Rad Eli Kartana učinio je diferencijalne forme jednom od osnovnih vrsta tenzora koji se koriste u matematici.

Otprilike od 1920-ih pa nadalje, shvatilo se da tenzori igraju osnovnu ulogu u algebarskoj topologiji (na primer u Kinetovoj teoremi). Shodno tome, postoje tipovi tenzora sa primenom u mnogim granama apstraktne algebre, posebno u homološkoj algebri i teoriji reprezentacije. Multilinearna algebra se može razviti s većom generalnosti nego što je to slučaj sa skalarima koji dolaze iz nekog polja. Na primer, skalari mogu proizaći iz prstena. Ali teorija je tada manje geometrijska, a proračuni više tehnički i manje algoritamski. Tenzori su generalizovani u okviru teorije kategorija pomoću koncepta monoidalne kategorije, iz 1960-ih.

Primeri

• Tenzor sa sa samo jednom komponentom je skalar i predstavlja tenzor ranga 0. Skalar je isti u svim bazisima.

Literatura

• Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6. 
• Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e izd.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7. 
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 978-1-4020-1015-6. 
• Jeevanjee, Nadir (2011). An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4714-8. 
• Lawden, D. F. (2003). Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology (3/e izd.). Dover. ISBN 978-0-486-42540-5. 
• Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J. (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0. 
• Lovelock, David; Rund, Hanno (1989) [1975]. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Dover. ISBN 978-0-486-65840-7. 
• Munkres, James R. (7. 7. 1997). Analysis On Manifolds. Avalon Publishing. ISBN 978-0-8133-4548-2. CS1 održavanje: Format datuma (veza) Chapter six gives a "from scratch" introduction to covariant tensors.
• Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (mart 1900). „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”. Mathematische Annalen. 54 (1–2): 125—201. S2CID 120009332. doi:10.1007/BF01454201. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-033484-7. 
• Schutz, Bernard F. (28. 1. 1980). Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29887-2. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Synge, John Lighton; Schild, Alfred (1969). Tensor Calculus. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-63612-2. 

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. „Tenzor”. MathWorld. 
• Ray M. Bowen; C. C. Wang (1976). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 1: Linear and Multilinear Algebra. New York, NY.: Plenum Press. ISBN 9780306375088. hdl:1969.1/2502. 
• Ray M. Bowen; C. C. Wang (2006). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis. ISBN 9780306375095. hdl:1969.1/3609. 
• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
• Foundations of Tensor Analysis for Students of Physics and Engineering With an Introduction to the Theory of Relativity by Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, released by NASA
• A discussion of the various approaches to teaching tensors, and recommendations of textbooks
• Sharipov, Ruslan (2004). „Quick introduction to tensor analysis”. arXiv:math.HO/0403252 . 
• Richard Feynman's lecture on tensors.