Беселова функција

Беселове функције, које је први дефинисао математичар Данијел Бернули и генерализовао Фридрих Бесел, су канонска решења y(x) Беселове диференцијалне једначине:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

за произвољан реалан или комплексан број α (представља „ред“ Беселове функције). Најинтересантније су оне Беселове функције за које је α цео број n.

Иако α и −α дају исту диференцијалну једначину, уобичајена је пракса да се дефинишу различите Беселове функције за ова два реда. Беселове функције су још познате под именима „цилиндричне функције“ или „цилиндрични хармоници“, јер их налазимо у решењу Лапласове једначине у цилиндричним координатама.

Дефиниција

С обзиром да је у питању диференцијална једначина другог реда, она мора имати два линеарно независна решења. Зависно од околности, ова решења се исказују на различите начине, што је изложено у даљем тексту.

Беселове функције прве врсте : J_α

Беселове функције прве врсте, које се означавају са $J_{\alpha }(x)$, су решења Беселове диференцијалне једначине која су коначна у координтном почетку ($x=0$) за ненегативне целобројне вредности $\alpha$, док су бесконачна када $x$ тежи нули за негативне не-целобројне вредности $\alpha$. Тип решења (нпр. целобројна или не-целобројна) и нормализација $J_{\alpha }(x)$ су дефинисани особинама Беселове функције. Могуће је дефинисати функцију преко њеног развоја у Тејлоров ред у близини тачке $x=0$:

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

где је $\Gamma (z)$ гама функција, генерализација факторијела на скуп реалних бројева. Графици Беселових функција изгледају слично синусоидама које опадају у интензитету пропорционално 1/√x, иако њихова решења у принципу нису периодична, осим асимптотски за велике вредности x.

График Беселове функције прве врсте, J_α(x), за целобројне редове α=0,1,2.

За α које није цео број, функције $J_{\alpha }(x)$ и $J_{-\alpha }(x)$ су независне, и стога представљају два решења диференцијалне једначине. С друге стране, за целобројне редове $\alpha$ важи (приметите да гама функција постаје бесконачна за аргументе који су негативни цели бројеви):

$J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,$

То значи да решења нису више независна. У овом случају друго линеарно независно решење је Беселова функција друге врсте.

Беселови интеграли

Алтернативну дефиницију Беселове функције, за целобројне вредности $n$, могуће је изразити у облику интеграла:

$J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau .$

Овај приступ је користио и сам Бесел, и из ове дефиниције је извео неке особине функције. Дефиниција се може уопштити на било коју реалну вредност реда додавањем новог члана

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}dt.$

Постоји и следећа целобројна дефиниција:

$J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau .$

Беселове функције друге врсте : Y_α

Беселове функције друге врсте, које се означавају са Y_α(x), су решења Беселове диференцијалне једначине. Она имају сингуларитет (бесконачна су) у координатном почетку (x = 0).

График Беселових функција друге врсте, Y_α(x), за целобројне редове α = 0, 1, 2.

Y_α(x) се понекад назива и Нојманова функција, која се означава са N_α(x). За реални број α, одговарајућа функција J_α(x) гласи:

$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.$

За целобројни ред n, функција се дефинише као лимес када α тежи ка n:

$Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x)$

Резултат у целобројном облику гласи:

$Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}dt.$

За реално α, дефиниција Y_α(x) је беспотребна (што се види из дефиниције). Насупрот томе, када је α цео број, Y_α(x) је друго линеарно независно решење Беселове једначине. Штавише, слично функцијама прве врсте, важи следећа једнакост:

$Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).\,$

Види још

• Сферна Беселова функција
• Модификоване Беселове функције
• Струвеове функције

Спољашње везе

• Калкулатор Беселових функција
• Беселове функције ν-тог реда   (Javascript)
• Беселове функције првог реда
• Беселове функције у анализи акустичких поља