Тополошки простор

Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.

Тополошки простор је најопштији тип математичког простора који омогућава дефинисање граница, континуитета и повезаности. Уобичајени типови тополошких простора укључују еуклидске просторе, метричке просторе и многострукости.

Дефиниција

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци $\tau$, који задовољавају следеће особине:

1. празан скуп и X налазе се у $\tau$.
2. унија свих колекција скупова из $\tau$ је такође скуп у $\tau$.
3. пресек сваке коначне колекције скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.

Колекција $\tau$ се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.

Скупови у $\tau$ су отворен скупови, а њихови комплементи у X су затворени скупови. Произвољни подскуп од X може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.

Покривач скупа X је скуп подскупова у X такав да њихова унија даје цео скуп X. Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.

Околина тачке x је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази x. Систем околине на x се састоји од свих околина од x. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.

Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи леви пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.

• Специјални тополошки простори у зависности од топологије $\tau$:

1. Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп X и колекција $\tau$ = {$\emptyset$, X} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
2. Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа X и колекције $\tau$= P(X), која је највећи могући подскуп партитивног скупа од X, тј. овде је топологија цео партитивни скуп од X.
3. Код бесконачних скупова, када је нпр. X = ${\mathit {Z}}$ и колекција $\tau$ је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа ${\mathit {Z}}$, овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер $\tau$ није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из Х који се не налазе у $\tau$.

Еквивалентне дефиниције

Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекције $\tau$ подскупова од X који задовољавају следеће аксиоме:

1. Празан скуп и X су у $\tau$.
2. Пресек сваке колекције скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.
3. унија сваког пара скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.

Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:

1. Празан скуп и X су затворени.
2. Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
3. Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.

По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији $\tau$ су затворени скупови, а њихови комплементи у X су отворени скупови.

Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.

Поређење топологија

Над истим скупом може постојати више топологија $\tau$ тако да граде различите тополошке просторе.

Топологија $\tau _{1}$ је грубља (мања, слабија) од $\tau _{2}$, односно, топологија $\tau _{2}$ је финија (већа, јача) од топологије $\tau _{1}$ ако важи да је сваки скуп из топологије $\tau _{1}$ истовремено садржан у топологији $\tau _{2}$. Овакво поређење топологија се записује: $\tau _{1}$ > $\tau _{2}$.

Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.

Непрекидне функције

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако је инверзна слика сваког отвореног скупа отворена.

Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.

Види још

• Топологија
• Морфизам
• Хомоморфизам
• Хомеоморфизам
• Векторски простор
• Функционални простор

Литература

• Armstrong, M. A.; Основна топологија (Basic Topology), Springer; прво издање (1. мај, 1997). ISBN 978-0-387-90839-7..
• Bredon, Glen E., Топологија и геометрија (Topology and Geometry) (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; 1st edition (17. октобар 1997). ISBN 978-0-387-97926-7..
• Fulton, William, Алгебарска топологија (Algebraic Topology), (Текстови из математике, постдипломске студије), Springer; прво издање (5. септембар, 1997). ISBN 978-0-387-94327-5..
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; прво издање (1. јун, 1968). ISBN 978-0-07-037988-6..
• Munkres, James; Топологија (Topology), Prentice Hall; друго издање (28. децембар, 1999). ISBN 978-0-13-181629-9..
• Runde, Volker; Укус топологије (универзитетски текст) A Taste of Topology (Universitext), Springer; прво издање (6. јул, 2005). ISBN 978-0-387-25790-7..
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. 
• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
• Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ур.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. 
• Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. 
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 
• Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics, Hermann (original), Addison-Wesley (translation) 
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics: Theory of sets, Hermann (original), Addison-Wesley (translation) 
• Eisenbud, David; Harris, Joe (2000), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98638-8, doi:10.1007/b97680 .
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ур. (2008), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2 
• Itô, Kiyosi, ур. (1993), Encyclopedic dictionary of mathematics (second изд.), Mathematical society of Japan (original), MIT press (translation) 
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th изд.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., стр. x+214, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557, doi:10.1002/9781118164518 
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th изд.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0. 
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 
• Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd изд.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, стр. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561 
• Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4 
• Bryant, Victor (1985). Metric spaces: Iteration and application. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31897-1. 
• Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Processes, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188 
• Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6. 
• Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175 
• Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, стр. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9 
• Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, стр. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163 
• Gromov, Mikhael (2007). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4582-3. 
• Heinonen, Juha (2001). Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer. ISBN 0-387-95104-0. 
• Heinonen, Juha (24. 1. 2007). „Nonsmooth calculus”. Bulletin of the American Mathematical Society. 44 (2): 163—232. doi:10.1090/S0273-0979-07-01140-8 . CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233 
• Pascal Hitzler; Anthony Seda (19. 4. 2016). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Lawvere, F. William (децембар 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID 1845177. doi:10.1007/BF02924844. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Margalit, Dan; Thomas, Anne (2017). „Office Hour 7. Quasi-isometries”. Office hours with a geometric group theorist. Princeton University Press. стр. 125—145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR j.ctt1vwmg8g.11. 
• Шаблон:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Ó Searcóid, Mícheál (2006). Metric spaces. London: Springer. ISBN 1-84628-369-8. 
• Papadopoulos, Athanase (2014). Metric spaces, convexity, and non-positive curvature (Second изд.). Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-132-3. 
• Rolewicz, Stefan (1987). Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems. Springer. ISBN 90-277-2186-6. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third изд.). New York. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474. 
• Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ур.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, стр. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 
• Vitányi, Paul M. B. (2011). „Information distance in multiples”. IEEE Transactions on Information Theory. 57 (4): 2451—2456. S2CID 6302496. arXiv:0905.3347 . doi:10.1109/TIT.2011.2110130. 
• Väisälä, Jussi (2005). „Gromov hyperbolic spaces” (PDF). Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187—231. MR 2164775. doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010 . 
• Vickers, Steven (2005). „Localic completion of generalized metric spaces, I”. Theory and Applications of Categories. 14 (15): 328—356. MR 2182680. 
• Xia, Qinglan (2008). „The geodesic problem in nearmetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 
• Xia, Q. (2009). „The geodesic problem in quasimetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 

Спољашње везе

• Тополошки простори на сајту PlanetMath, приступљено: 17. октобар 2014.