Експоненцијална функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Експоненцијална функција је једна од најважнијих функција у математици. Означава се као exp(x) или ex, при чему је e приближно једнак 2.71828183, што је заправо Неперова константа, основа природног логаритма.


Експоненцијална функција је скоро равна (споро се пење) за негативне вредности x, а онда брзо расте за позитивне вредности x.

Експоненцијална функција је реална функција једне променљиве, дефинисана за све реалне бројеве, која је увек позитивна и растућа. Никада не додирује x-осу, мада јој је x-оса једина асимптота. Њена инверзна функција, природни логаритам, је дефинисана само за позитивне вредности променљиве x.

Понекад се, нарочито у науци, израз експоненцијална функција користи да означи функцију облика ax, где је a, које се назива база или основа, било који позитиван реалан број. Овај чланак се фокусира на експоненцијалну функцију са основом e.

Уопштеније, x може бити било који реалан или комплексан број, или чак, тотално различити математички објекат - погледати формалну дефиницију испод.

Својства[уреди]

Употребом природног логаритма, може се дефинисати нешто генералнија експоненцијална функција. Функција

\!\, a^x=e^{x \ln a}

дефинисана за свако a > 0, и за сваки реалан број x се назива експоненцијална функција за основу a.


Приметимо да горња једнакост важи за a = e, пошто је

\!\, e^{x \ln e}=e^{x \left(1\right)}=e^x.

Експоненцијалне функције „сједињују“ сабирање и множење, што се види следећим експоненцијалним законима:

\!\, a^0 = 1
\!\, a^1 = a
\!\, a^{x + y} =  a^x a^y
\!\, a^{x y} = \left(a^x \right)^y
\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
\!\, a^x b^x = (a b)^x

Горње важи за све позитивне реалне бројеве a и b, и за све реалне бројеве x и y. Изрази који укључују разломке и кореновање често могу бити упрошћени коришћењем експоненцијалне нотације јер:

{1 \over a} = a^{-1}

и, за свако a > 0, реалан број b, и цео број n > 1:

\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}

За сваку реалну константу c важи:

 f'(0)=\lim_{h \to 0}\frac{e^{ch}-1}{h}=c

за f(x)=e^{ch}


Изводи и диференцијалне једначине[уреди]

Значај експоненцијалне функције у математици и науци уопште углавном потиче од својстава њеног извода. Конкретније,

{d \over dx} e^x = e^x

Види се да је ex извод самом себи, што је јединствено својство међу свим реалним функцијама. Други начини да се каже исто ово укључују:

  • Нагиб графика експоненцијалне функције у било којој тачки једнак је вредности функције у тој тачки.
  • Стопа пораста експоненцијалне функције у тачки x једнака је вредности функције у тој тачки.
  • Експоненцијална функција је решење диференцијалне једначине y'=y.

Заправо, огроман број диференцијалних једначина има решење у експоненцијалним функцијама, укључујући Шредингерову једначину и Лапласову једначину, као и једначине простог хармонијског кретања.

За експоненцијалне функције осталих основа важи:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

Према томе, свака експоненцијална функција је константни умножак сопственог извода.

Уколико је раст или опадање променљиве пропорционално њеној величини – као у случају неограниченог раста становништва, радиоактивног распада, сложене камате – онда се та променљива може писати као константа помножена експоненцијалном функцијом времена.

Даље, за било коју диференцијабилну функцију f(x) важи:

{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}

Формална дефиниција[уреди]

Експоненцијална функција ex може се дефинисати на доста еквивалентних начина, преко бесконачних редова. Одређеније, може се дефинисати преко степених редова:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

или као лимес следеће секвенце:

e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {x \over n} \right)^n.

У овим дефиницијама, n! означава факторијел броја n, а x је или произвољан реалан број, комплексан број, елемент Банахове алгебре (на пример, квадратна матрица).

Нумеричка вредност[уреди]

Да бисмо добили нумеричку вредност експоненцијалне функције, бесконачни ред можемо написати као:

e^x = {1 \over 0!} + x \, \left({1 \over 1!} + x \, \left({1 \over 2!} + x \, \left({1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)
= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)

Овај израз брзо конвергира уколико је x мање од 1.

Да бисмо ово остварили, можемо искористити следећу једнакост.

e^x\, =e^{z+f}\,
= e^z \times \left[ {1 \over 0!} + f \, \left({1 \over 1!} + f \, \left({1 \over 2!} + f \, \left({1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)\right]
  • где је z цео део од x
  • где је f део иза покретног зареза од x
  • следи, f је увек мање од 1 и збир f и z даје x.

Вредност константе ez се може претходно израчунато множећи e самим собом z пута.


На комплексној равни[уреди]

Када се посматра као функција комплексне променљиве, експоненцијална функција задржава своја битна својства:

\!\, e^{z + w} = e^z e^w
\!\, e^0 = 1
\!\, e^z \ne 0
\!\, {d \over dz} e^z = e^z

за свако z и w.

Оваква експоненцијална функција је холоморфна, са имагинарном периодом 2 \pi i и може се написати и као:

\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

где су a и b реални бројеви. Ова формула повезује експоненцијалну функцију са тригонометријским функцијама и хиперболичким функцијама. Овим се види да се све елементарне функције осим полиномијалних потомци експоненцијалне функције у једном или другом смислу.

Погледајте и Ојлерову формулу.


Матрице и Банахова алгебра[уреди]

Дефиниција експоненцијалне функције дата изнад може се користити и за сваку Банахову алгебру, и одређеније за квадратне матрице. У овом случају имамо:

\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ if } xy = yx
\ e^0 = 1
\ e^x има инверз и он је \ e^{-x}
извод \ e^x у тачки \ x је она матрица која пресликава \ u у \ ue^x.

Спољашње везе[уреди]