Тејлоров полином

Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију $\sin x$ и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Тејлоров полином за неку функцију $f(x)$ и дату тачку $a$ је дефинисан на следећи начин:

$T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{k=0}^{n} \left (\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )$

Тејлоровим остатком $R_n^a (x)$ полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

$R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt$

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку $a$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

$f(x) = T_n(x) + R_n(x)$

Види још

• Тејлорова формула
• Маклоренова формула
• Тејлоров ред

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Овај незавршени чланак Тејлоров полином везан је за математику. Користећи правила Википедије, можете га проширити.