Тејлоров полином

Из Википедије, слободне енциклопедије
Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију \sin x и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Тејлоров полином за неку функцију f(x) и дату тачку a је дефинисан на следећи начин:


T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +  \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n 
= \sum_{k=0}^{n} \left (\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )

Тејлоровим остатком R_n^a (x) полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку a коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

f(x) = T_n(x) + R_n(x)

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.